De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Se tiene el plano inclinado de la figura que forma un ángulo $θ$ con la horizontal. Se dispara una partícula desde el punto más bajo, con una velocidad inicial $\vec{v}_0$ , de módulo $10 v p$ y con un ángulo $α$ con la horizontal. Los ángulos son tales que

$\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{3}{5}\qquad \cos\theta=\dfrac{4}{5} \qquad\qquad\qquad \mathrm{sen}\,\alpha= \dfrac{4}{5}\qquad \cos\alpha=\dfrac{3}{5}.$

Calcula la distancia $l$ entre el punto de partida y el de impacto sobre el plano inclinado, así como la velocidad (vector) con la que impacta.
Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula entre los puntos $O$ y $A$ .
Calcula la potencia que la gravedad transmite a la partícula en cada. Discute el significado físico del signo de esta potencia.
Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto.

2 Solución

2.1 Impacto con el plano

La partícula se mueve únicamente bajo la acción de la graveda. Por tanto, su movimiento es un tiro parabólico. La posición y velocidad iniciales son

$\begin{array}{l} \vec{r}(0) = \vec{0}\\ \vec{v}(0) = 10v_p\cos\alpha\,\vec{\imath} + 10v_p\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} = 6v_p\,\vec{\imath} + 8v_p\,\vec{\jmath}. \end{array}$

En el tiro oblicuo, el movimiento horizontal de la partícula es rectilíneo uniforme mientras que el vertical es uniformemente acelerado con aceleración $- g$ . Los vectores aceleración, velocidad y posición de la partícula son

$\begin{array}{l} \vec{a} = -g\,\vec{\jmath},\\ \vec{v} = 6v_p\,\vec{\imath} + (8v_p-gt)\,\vec{\jmath},\\ \vec{v} = 6v_pt\,\vec{\imath} + (8v_pt-gt^2/2)\,\vec{\jmath},\\ \end{array}$

El vector de posición del punto $A$ sobre la rampa es

$\overrightarrow{OA} = l\cos\theta\,\vec{\imath} + l\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath} = \dfrac{4}{5}l\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}l\,\vec{\jmath}.$

Cuando la partícula impacte con el plano inclinado se cumplirá

$\overrightarrow{OA} = \vec{r}(t_i) \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{4}{5}l = 6v_pt_i\\ \\ \dfrac{3}{5}l = 8v_pt_i - \dfrac{1}{2}gt_i^2 \end{array} \right.$

Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas: $l, t i$ . Resolviendo tenemos

$t_A = \dfrac{v_p}{g}, \qquad l = \dfrac{105}{2}\dfrac{v_p^2}{g}.$

2.2 Trabajo realizado por la gravedad

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es la variación de la energía potencial gravitatoria, con el signo cambiado

$\Delta W_g = -\Delta U_g = -mgl\,\mathrm{sen}\,\theta = -\dfrac{63}{2}mv_p^2.$

2.3 Potencia instantánea transmitida por la gravedad

La potencia que, en cada instante, la fuerza gravitatoria comunica a la partícula es

$P_g = \vec{F}_g\cdot\vec{v} = m\vec{g}\cdot\vec{v} = -g(8v_p-gt)$

Esta potencia cambia de signo en el instante $t = 8 v p / g$ . Sin embargo, este tiempo es menor que $t i$ . Entonces, durante todo el trayecto la potencia es negativa, es decir, la gravedad frena la partícula.

2.4 Componentes intrínsecas de la aceleración en el momento del impacto

En el impacto, $t i = v p / g$ , y la velocidad y aceleración son

$\begin{array}{l} \vec{v}_i = \vec{v}_p(t_i) = 6v_p\,\vec{\imath} - 7v_p\,\vec{\jmath}\\ \vec{a}_i = -g\,\vec{\jmath}. \end{array}$

El módulo de la velocidad es

$|\vec{v}_i| = \sqrt{85}\,v_p.$

La aceleración tangencial es

$a_T = \dfrac{\vec{a}_i\cdot\vec{v}_i}{|\vec{v}_i|} = -\dfrac{7}{\sqrt{85}}g.$

Y la aceleración normal es

$a_N = \dfrac{|\vec{a}_i\times\vec{v}_i|}{|\vec{v}_i|} = \sqrt{|\vec{a}_i|^2-a_T^2} = \dfrac{6}{\sqrt{85}}\,g.$

El signo de la aceleración tangencial es compatible con la discusión sobre la potencia del apartado anterior.

Tiro parabólico con plano inclinado, Septiembre 2019 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Impacto con el plano

2.2 Trabajo realizado por la gravedad

2.3 Potencia instantánea transmitida por la gravedad

2.4 Componentes intrínsecas de la aceleración en el momento del impacto

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