Test del primer parcial 2019-2020 (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Aceleración a trozos
- 1.1 Pregunta 1
- 1.2 Pregunta 2
2 Cambio en la velocidad
- 2.1 Pregunta 1
- 2.2 Pregunta 2
3 Producto escalar y vectorial
4 Movimiento en polares
5 Movimiento circular uniforme
6 Movimiento circular no uniforme

1 Aceleración a trozos

Una partícula se mueve en un movimiento rectilíneo que parte del reposo en $x = 0$ . Durante un intervalo $T$ se mueve con aceleración constante $a 0$ . A partir de ahí se mueve con aceleración constante $- a 0 / 2$ durante un intervalo $2 T$ .

1.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale la velocidad de la partícula en $t = 3 T$ ?

A $- a 0 T$ .
B $a 0 T$ .
C $0$ .
D $a 0 T / 2$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

La partícula acelera con $a 0$ durante un intervalo $T$ . Durante ese tiempo la velocidad pasa de ser 0 a valer

v (T) - v (0) = a 0 T

a partir de ahí, comienza a disminuir, con la mitad de la aceleración, pero el doble de tiempo, con lo que se reduce en

$v(3T)-v(T)=-\frac{a_0}{2}2T=-a_0T$

por lo que al final del intervalo completo

$v(3T)=a_0T-a_0T=0\,$

Gráficamente, la velocidad seguirá una curva como la de la figura.

1.2 Pregunta 2

¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre $t = 0$ y $t = 3 T$ ?

A $- 3 a 0 T 2 / 2$ .
B $3 a 0 T 2 / 2$ .
C $0$ .
D $- a 0 T 2$ .

Solución

La respuesta correcta es la B.

Podemos responder simplemente observando que la velocidad media en los dos tramos es $a 0 T / 2$ con lo que el desplzamiento total es

$\Delta x = v_m\,\Delta t = \frac{a_0T}{2}(3T)=\frac{3a_0T^2}{2}$

Alternativamente, en el primer tramo tenemos, por ser un MRUA

$\Delta x_1=\frac{1}{2} a T^2$

y en el segundo

$\Delta x_2=v_1 (2T)+\frac{1}{2}(-\frac{a_0}{2})(2T)^2= 2a_0T^2 - a_0T^2 = a_0T^2$

y sumando los dos tramos tenemps el resultado anterior.

2 Cambio en la velocidad

En un movimiento en el plano OXY, la velocidad de una partícula en un instante dado es $\vec{v}=(-3\vec{\imath}+4\vec{\jmath})\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y su aceleración en ese mismo instante es $\vec{a}=(7\vec{\imath}-\vec{\jmath} )\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

2.1 Pregunta 1

En este instante la partícula está…

A ni frenando ni acelerando. Su rapidez es constante.
B frenando.
C acelerando.
D No hay información suficiente para saber si acelera o frena.

Solución

La respuesta correcta es la B.

Para saber si acelera o frena, hallamos la aceleración tangencial.

El vector tangente es

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{\jmath}$

y la aceleración tangencial (escalar)

$a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=7\left(-\frac{3}{5}\right)-1\frac{4}{5}=-5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}^2$

y el vector aceleración tangencial

$\vec{a}_t=a_t\vec{T}=(3\vec{\imath}-4\vec{\jmath})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}^2$

Como es negativa, la partícula está frenando. Gráficamente, podemos ver que la aceleración apunta “hacia atrás” (hacia el semiplano opuesto a la velocidad), lo que implica que se opone a la velocidad.

2.2 Pregunta 2

En ese instante y, mirando desde el eje OZ positivo, la partícula…

A está desviándose hacia su izquierda.
B no se desvía, sino que avanza en línea recta.
C está desviándose hacia su derecha.
D No hay información suficiente para saber si cambia de dirección.

Solución

La respuesta correcta es la C.

De la figura anterior vemos que la aceleración normal apunta hacia la derecha de la velocidad. Dado que la aceleración normal siempre apunta hacia el interior de la curva, la partícula se está desviando hacia la derecha. El valor de la aceleración normal es

$\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=(4\vec{\imath}+3\vec{\jmath})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}^2$ que va hacia el primer cuadrante, mientras que la velocidad va ahcia el segundo.

3 Producto escalar y vectorial

Sean $\vec{a}$ y $\vec{b}$ dos vectores no nulos. Indique en qué caso se cumple la igualdad

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\times\vec{b}$

A Cuando $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son paralelos.
B Cuando $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son perpendiculares.
C Cuando $\vec{a}$ y $\vec{b}$ forman un ángulo de 45°.
D Nunca.

Solución

La respuesta correcta es la D.

Por el principio de homogeneidad, una cantidad escalar nuca puede ser igual a una vectorial.

4 Movimiento en polares

Una partícula describe un movimiento plano que, en polares, tiene la trayectoria $ρ = k θ 2$ , con $k = cte$ . La trayectoria de este movimiento es

A Espiral.
B Circular.
C Helicoidal.
D Parabólica.

Solución

La respuesta correcta es la A.

Una espiral es una curva en la que a medida que damos vueltas alrededor del centro, va aumentando la distancia a éste. En este caso, la función $ρ = k θ 2$ es creciente y por tanto, la curva es una espiral hacia el exterior.

5 Movimiento circular uniforme

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para un movimiento circular uniforme alrededor del origen de coordenadas?

A La velocidad es perpendicular al vector de posición.
B La aceleración es nula.
C La velocidad es igual a $\vec{v}=\vec{\omega}R$ .
D La aceleración es igual a $|\vec{\omega} |^2 \vec{r}$ .

Solución

La respuesta correcta es la A.

El vector de posición es radial, mientras que la velocidad es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio.

6 Movimiento circular no uniforme

La figura ilustra la aceleración en varios instantes de un movimiento circular. ¿En cuál de ellos es máxima la rapidez?

A En P.
B En Q.
C En R.
D En S.

Solución

La respuesta correcta es la C.

La aceleración normal y la tangencial en un movimiento circular cumplen

$a_n=\frac{|\vec{v}|^2}{R}\qquad\qquad a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}$

En el punto en el que la rapidez es máxima se cumplirá que la aceleración tangencial es nula, y que la aceleración normal es la máxima posible. De los cuatro puntos, estas dos condiciones se dan en el punto R.

En P la rapidez es nula (no hay aceleración normal). A partir de ahí se acelera. Si vamos por Q vemos que la aceleración tangencial es positiva (hacia adelante) y la rapidez está aumentando. En R alcanza el máximo, y en S la aceleración tangencial es negativa y la partícula va está fenando. Como la figura es negativa, si suponemos que va en oren P-S-R-Q-P la conclusión es idéntica.

Test del primer parcial 2019-2020 (GIOI)

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1 Aceleración a trozos

1.1 Pregunta 1

1.2 Pregunta 2

2 Cambio en la velocidad

2.1 Pregunta 1

2.2 Pregunta 2

3 Producto escalar y vectorial

4 Movimiento en polares

5 Movimiento circular uniforme

6 Movimiento circular no uniforme

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