Test del Examen Parcial 2013-2014 (1ª parte)

De Laplace

Contenido

1 Acción de dos cargas sobre una tercera
- 1.1 Pregunta 1
- 1.2 Pregunta 2
2 Circuito con tres resistencias
3 Sistema de tres conductores
- 3.1 Pregunta 1
- 3.2 Pregunta 2
4 Corriente inducida en una espira
5 Efecto de una espira sobre una carga
6 Fusible

1 Acción de dos cargas sobre una tercera

Se tiene un sistema formado por tres cargas puntuales de valores $+ q$ , $+ q$ y $+ 2 q$ situadas en las posiciones de la figura.

1.1 Pregunta 1

Si llamamos $F_0=q^2/(4\pi\varepsilon_0a^2)$ , la fuerza sobre la carga situada en el origen es igual a

A $+(F_0/2)\vec{\imath}+(\sqrt{3}/2)F_0\vec{\jmath}$
B $-(F_0/2)\vec{\imath}-(\sqrt{3}/2)F_0\vec{\jmath}$
C $\vec{0}$
D $-\sqrt{3}F_0\vec{\jmath}$

Solución

La respuesta correcta es la D.

Es simple suma vectorial. La carga que está en ele je OX ejerce una fuerza

$\vec{F}_1=-F_0\vec{\imath}$

mientras que la carga 2q ejerce la fuerza

$\vec{F}_2=-2F_0\left(\cos(120^\circ)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(120^\circ)\right)=F_0\vec{\imath}-\sqrt{3}F_0\vec{\jmath}$

Sumando estos dos vectores la componente X se anula (lo cual, si se ve de entrada, resuelve directamente el problema) y queda

$\vec{F}=-\sqrt{3}F_0\vec{\jmath}$

1.2 Pregunta 2

¿Qué trabajo es necesario realizar por un agente externo para llevar la carga cuasiestáticamente del origen de coordenadas hasta el infinito?

A $- 3 F 0 a$ .
B Es nulo.
C Es infinito.
D $+ 3 F 0 a$ .

Solución

La respuesta correcta es la A.

El trabajo para mover una carga en el campo de otras es igual a

$W=q\,\Delta V = q\left(V(\vec{r}_f)-V(\vec{r}_i)\right)$

En este caso, el potencial en el punto final es nulo, mientras que el inicial es el debido a las otras dos cargas

$V(\vec{r}_i)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{a}+\frac{2q}{a}\right)=\frac{3q}{4\pi\varepsilon_0a}$

por lo que el trabajo vale

$W=q\left(0-\frac{3q}{4\pi\varepsilon_0a}\right)=-\frac{3q^2}{4\pi\varepsilon_0 a}=-3F_0a$

Es fácil ver que esta es la respuesta correcta sin hacer ningún cálculo, ya que las cargas positivas se repelen entre sí, por lo que la carga del origen ya tiende a irse sola al infinito. Por ello, el trabajo que hay que hacer es negativo, ya que al conseguir que la carga se mueva de forma cuasiestática hay que extraerle energía.

2 Circuito con tres resistencias

Se tiene el circuito de la figura.

En un momento dado, se abre el interruptor. Después de ese momento, ¿qué podemos decir de las corrientes que circulan por las resistencias 1 y 2?

A Las dos disminuyen.
B La que pasa por la 1 se queda igual y la de la 2 aumenta.
C La que pasa por la 1 disminuye y la de la 2 aumenta.
D Las dos aumentan.

Solución

La respuesta correcta es la C.

Antes de abrir el interruptor, la resistencia equivalente al conjunto es

$R_{\mathrm{eq}i}=2\,\Omega + \left(\frac{1}{3\,\Omega}+\frac{1}{6\,\Omega}\right)^{-1}=4\,\Omega$

por lo que la corriente que circula por la resistencia 1 era

$I_{1i}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{4\,\Omega}=6\,\mathrm{mA}$

Esta corriente se repartía entre las dos ramas, en forma inversamente proporcional a la resistencia de cada una

$I_{2i}=2\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_{3i}=4\,\mathrm{mA}$

Cuando se abre el interruptor deja de pasar corriente por $R 3$ , por lo que la nueva resistencia equivalente es

$R_{\mathrm{eq}f}=2\,\Omega + 6\,\Omega=8\,\Omega$

siendo la nueva corriente por la resistencia 1

$I_{1f}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{8\,\Omega}=3\,\mathrm{mA}$

Vemos que ha disminuido como consecuencia de que ha aumentado la resistencia del circuito.

Esta misma corriente pasa por la resistencia 2, ya que ahora no se bifurca.

$I_{2f}=3\,\mathrm{mA}$

Por tanto, la corriente que va por la resistencia 1 disminuye y por la 2 aumenta.

3 Sistema de tres conductores

Se tiene el sistema de conductores en equilibrio electrostático de la figura, en la que se han indicado algunas de las líneas de campo eléctrico

3.1 Pregunta 1

¿Qué podemos decir de los potenciales de cada conductor (tomando como origen de potencial el infinito)?

A $V 1 > V 2 > 0 > V 3$
B Tal situación es imposible.
C $V 1 > 0 > V 2 > V 3$
D $V 1 > V 2 > V 3 > 0$

Solución

La respuesta correcta es la C.

En electrostática, el campo siempre va de mayor a menor potencial. Estudiando la figura, vemos que eso implica que $V 1 > V 2 > V 3$ , pero en esto están de acuerdo todas las respuestas.

Se trata de ver el signo, si hay alguno de los potenciales son positivos o negativos, o si la situación es imposible porque se forma algún ciclo cerrado.

Puesto que hay líneas que van del conductor 1 al infinito, esto quiere decir que $V 1 > 0$ . Además hay líneas que van del infinito al conductor 2, por lo que $V 2 < 0$ . Esto no es contradictorio con que $V 1 > V 2$ . Por tanto, la respuesta correcta es

$V_1 > 0 > V_2 > V_3\,$

3.2 Pregunta 2

¿Cómo sería el sistema de condensadores que representa a este sistema de conductores?

A	B


C	D

Solución

La respuesta correcta es la B.

Un sistema de conductores se puede modelar por un sistema de condensadores, donde cada uno representa la porción de líneas de campo que van de uno a otro. En principio, puede haber como máximo un condensador entre cada dos conductores, más uno de cada conductor a tierra (líneas que van o vuelven del infinito).

Ahora bien, en este sistema, es imposible que haya líneas de campo que vayan del conductor 3 al 1, o del conductor 3 al infinito, ya que lo impide el conductor 2. Por tanto, hay que eliminar esos dos condensadores y el sistema se reduce a la opción B.

4 Corriente inducida en una espira

Una espira circular de radio $b$ , resistencia $R$ y autoinducción despreciable, situada en el plano XY, se encuentra sumergida en un campo magnético uniforme que varía en el tiempo como un pulso gaussiano

$\vec{B}=B_0\mathrm{e}^{-(t/T)^2}\vec{k}$

¿Cuál de las siguientes cuatro figuras describe correctamente la corriente que circula por la espira, considerada en sentido antihorario alrededor del eje Z?

A	B


C	D

Solución

La respuesta correcta es la D.

De acuerdo con la ley de Faraday, la corriente inducida en la espira cumple

$I = -\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Puesto que en este caso el campo es uniforme, este flujo es igual al producto del campo por el área S del círculo, lo que nos deja con

$I = -\frac{S}{R}\,\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$

Es decir, no están preguntando por la derivada de B respecto al tiempo, cambiada de signo.

Por las propiedades de las derivadas, esto quiere decir que I será negativa cuando B crece y positiva cuando B decrece (de acuerdo con al ley de Lenz).

Por tanto, la respuesta correcta es la D.

5 Efecto de una espira sobre una carga

Se tiene una espira circular en el plano XY, centrada en el origen, por la cual circula una corriente $I 0$ en sentido antihorario. Por el centro de la espira pasa una carga positiva $+ q$ , moviéndose con velocidad

$\vec{v}=v_0\vec{\imath}$

¿Qué efecto produce la espira sobre la carga?

A Una fuerza en el sentido $-\vec{\jmath}$ .
B Una fuerza en el sentido $\vec{k}$ .
C Una fuerza en el sentido $\vec{\imath}$ .
D Ninguno, ya que el campo es nulo en el centro de la espira

Solución

La respuesta correcta es la A.

La fuerza magnética sobre la carga es

$\vec{F}_m=q\vec{v}\times\vec{B}$

siendo en este caso

$\vec{v}=v_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2R}\vec{k}$

El producto vectorial de estas dos cantidades da una fuerza en el sentido de $-\vec{\jmath}$ .

Realmente, no es necesario saber cuánto vale el campo magnético de una espira circular. Con usar la regla de la mano derecha y saber para donde apunta es suficiente.

6 Fusible

Un fusible es un fino hilo de plomo ( $\sigma =4.55\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) de 1 cm de largo y 0.2 mm de diámetro. Si el hilo se funde cuando la potencia disipada en él es de 25 mW, ¿Cuál es, aproximadamente, la máxima corriente que puede circular por este hilo?

A 2.25 A
B 0.6 A
C 5.1 A
D 62 mA

Solución

La respuesta correcta es la B.

La potencia disipada en la espira la da la ley de Joule

$P = I^2R\,$

de donde la corriente máxima es igual a

$I = \sqrt{\frac{P}{R}}$

Aquí la resistencia es la de un hilo

$R = \frac{l}{\sigma S}=\frac{0.01}{(4.55\times 10^6)(\pi 0.0001^2)}\,\Omega = 0.07\,\Omega$

Por tanto

$I = \sqrt{\frac{0.025}{0.07}}\,\mathrm{A}=0.6\,\mathrm{A}$

Test del Examen Parcial 2013-2014 (1ª parte)

De Laplace

Contenido

1 Acción de dos cargas sobre una tercera

1.1 Pregunta 1

1.2 Pregunta 2

2 Circuito con tres resistencias

3 Sistema de tres conductores

3.1 Pregunta 1

3.2 Pregunta 2

4 Corriente inducida en una espira

5 Efecto de una espira sobre una carga

6 Fusible

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES