Test de la segunda convocatoria de Física I 2014-2015 (GIE)

De Laplace

1 Ortogonalidad de dos vectores

Dados dos vectores no nulos, $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , ¿cuándo son perpendiculares su suma $\vec{a}+\vec{b}$ y su diferencia $\vec{a}-\vec{b}$ ?

A Cuando $a$ y $b$ tienen el mismo módulo.
B Nunca.
C Cuando $a$ y $b$ son paralelos.
D Cuando $a$ y $b$ son ortogonales.

Solución

La respuesta correcta es la A.

Dos vectores son ortogonales cuando se anula su producto escalar

$0 = (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$

y esta cantidad se anula cuando son iguales los módulos.

2 Dos discos en contacto

Un sólido está formado por dos discos homogéneos de acero, del mismo espesor y radios $R_1=20\,\mathrm{cm}$ y $R_2=10\,\mathrm{cm}$ , tangentes en el borde. La masa del sólido completo es de 5kg.

2.1 Pregunta 1

¿Dónde se encuentra el centro de masas del sistema?

A En R( $x=15\,\mathrm{cm}$ )
B En S( $x=20\,\mathrm{cm}$ )
C En P( $x=6\,\mathrm{cm}$ )
D En Q( $x=10\,\mathrm{cm}$ )

Solución

La respuesta correcta es la C.

la posición del CM del sistema es

$\vec{r}_C=\frac{M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}}{M_1+M_2}$

Las masas de los discos son proporcionales al cuadrado de sus radios, por lo que la masa del disco 1 es 4 veces el del disco 2. Dado que suman 5kg

$M_1=4M_2\qquad\qquad M_1+M_2=5\,\mathrm{kg}\qquad\Rightarrow\qquad M_1=4\,\mathrm{kg}\qquad M_2=1\,\mathrm{kg}$

y las posiciones de los centros de masa respectivos son

$\vec{r}_{C1}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=30\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm}$

con lo que obtenemos la posición del CM

$\vec{r}_C=\frac{(4\,\mathrm{kg})\vec{0}+(1\,\mathrm{kg})(30\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm})}{5\,\mathrm{kg}}=6\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm}$

2.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale el momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano de los discos y que pasa por el punto S( $x=20\,\mathrm{cm}$ )?

A 3400kg·cm²
B 2550kg·cm²
C 1275kg·cm²
D 850kg·cm²

Solución

La respuesta correcta es la B.

El momento de inercia de un disco homogéneo respecto a un punto de su borde se halla aplicando el teorema de Steiner

$I=I_C+MD^2 = \frac{1}{2}MR^2+MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$

Aplicamos esto a los dos discos y queda

$I=\frac{3}{2}\left(4\times 20^2+1\times 10^2\right)\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}^2=2550\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}^2$

3 Teorema de la energía mecánica

La energía mecánica de una partícula sometida a fuerzas conservativas y no conservativas verifica

A $\dot{E} = \vec{F}_{nc}\cdot\vec{v}$
B $\dot{E} = (\vec{F}_c+\vec{F}_{nc})\cdot\vec{v}$
C $\dot{E} = 0$
D $\dot{E} = -\vec{F}_c\cdot\vec{v}$

Solución

La respuesta correcta es la A.

4 Coche en una curva

Un automóvil de 1200kg describe una semicircunferencia de 314 m de longitud con rapidez constante de 72km/h. Si lo tratamos como una partícula,…

4.1 Pregunta 1

¿cuánto vale en módulo la fuerza que actúa sobre él?

A 62kN
B 4.8kN
C Es nula.
D 150N

Solución

La respuesta correcta es la B.

El vehículo describe un movimiento circular uniforme, con lo que su aceleración es puramente normal. De acuerdo con la segunda ley de Newton

$F=ma = m\frac{|\vec{v}|^2}{R}=1200\,\mathrm{kg}\frac{(20\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{100\,\mathrm{m}}=4800\,\mathrm{N}$

y la fuerza la ha

4.2 Pregunta 2

¿Qué trabajo realiza esta fuerza aplicada desde el principio al final de la semicircunferencia?

A Es nulo.
B 1.5MJ
C 0.48MJ
D -1.5MJ

Solución

La respuesta correcta es la A.

La fuerza que actúa sobre la partícula es puramente normal, por lo que no realiza trabajo

$P=\vec{F}\cdot\vec{v}=0\qquad\Rightarrow\qquad W=0$

5 Movimiento de un sólido

Un sólido rígido se mueve de manera que el origen de coordenadas tiene velocidad (en el SI) $4(\vec{\imath}-\vec{k})$ y la velocidad angular del sólido vale $\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ .

5.1 Pregunta 1

¿Qué tipo de movimiento describe el sólido?

A Helicoidal
B No hay suficiente información para saberlo.
C Rotación.
D Traslación.

Solución

La respuesta correcta es la A.

La velocidad angular no es nula, por lo que se trata de una rotación o un movimiento helicoidal. Además, la velocidad de un punto y la angular no son vectores perpendiculares

$\vec{v}_O\cdot\vec{\omega}=4(\vec{\imath}-\vec{k})\cdot(\vec{\imath}+\vec{\jmath})=4\neq 0$

Por tanto se trata de un movimiento helicoidal.

5.2 Pregunta 2

¿Cuál de los siguientes es un punto del eje instantáneo de rotación (y mínimo deslizamiento, en su caso)?

A (−1,3,2)
B (2,2,0)
C (1,5,−2)
D (4,0,−2)

Solución

La respuesta correcta es la C.

6 Fuerza sobre una varilla

Sobre una varilla actúa únicamente una fuerza aplicada en su extremo y perpendicular a la dirección de la varilla. El resultado es…

A nulo. Ni la varilla gira, ni el CM se acelera.
B una aceleración lineal del CM, pero no una rotación de la varilla.
C una aceleración lineal del CM y una rotación de la varilla.
D una rotación de la varilla, pero el CM no se acelera.

Solución

La respuesta correcta es la C.

7 Movimiento en polares

Una partícula se mueve en el plano de forma que en todo momento sus coordenadas polares verifican

$\rho(t)=\frac{A}{t}\qquad\qquad \varphi(t)=B t^2$

con $A$ y $B$ constantes. Para esta partícula es constante…

A la aceleración
B la componente radial de la velocidad.
C la componente acimutal de la velocidad.
D la rapidez.

Solución

La respuesta correcta es la C.

8 Colisión completamente inelástica

Un proyectil en movimiento uniforme choca de forma completamente inelástica con un blanco estacionario. Tras la colisión…

A la cantidad de movimiento del sistema es la misma que antes
B la cantidad de movimiento del sistema es nula.
C la energía cinética del sistema es nula.
D la energía cinética del sistema es la misma que antes.

Solución

La respuesta correcta es la A.

9 Esfera sobre un plano

Una esfera se mueve sobre el plano $y = 0$ . En un momento dado, la velocidad del punto de contacto es nula y la velocidad angular de la esfera es $\vec{\omega}=3\vec{\imath}+4\vec{k}$ (rad/s). Esta esfera…

A pivota con una velocidad angular de 5rad/s.
B pivota con una velocidad angular de 4rad/s y rueda a 3rad/s.
C rueda con una velocidad angular de 4rad/s y pivota a 3rad/s.
D rueda con una velocidad angular de 5rad/s.

Solución

La respuesta correcta es la D.

10 Partícula con aceleración variable

Una partícula de masa $m=2\,\mathrm{kg}$ describe un movimiento rectilíneo en el que la aceleración, como función del tiempo sigue la gráfica de la figura. La partícula parte en $t=0\,\mathrm{s}$ del reposo en $x = 0$ .

10.1 Pregunta 1

¿Qué trabajo se realiza sobre ella entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=10\,\mathrm{s}$ ?

A 0J.
B 2025J
C No hay información suficiente para saberlo
D −2025J

Solución

La respuesta correcta es la B.

El trabajo es realizado es igual al incremento de energía cinética, que inicialmente es nula

$W= \Delta K = \frac{1}{2}m v^2 - 0$

(no necesitamos vectores y módulos, pues el movimiento es rectilíneo. Debemos halalr, por tanto, la velocidad en t = 10 s.

La aceleración representada en esta gráfica es lineal en thinsp

$a=A + B t\,$

con las condiciones de que en t = 2 s se anula y en t = 0 s vale 3 m/s². Por tanto los coeficientes valen, en el SI,

$A=3\qquad\qquad B=-\frac{3}{2}$

siendo la aceleración

$a = 3-\frac{3}{2}t$

Integrando una vez hallamos la velocidad, sabiendo que la velocidad inicial es nula.

$v = \int_0^t a\,\mathrm{d}t=3t-\frac{3}{4}t^2$

En t = 10 s, esta velocidad vale

$v = 30-\frac{300}{4}=-45$

y esto da la energía cinética y por tanto el trabajo

$W= \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}2(-45)^2 = 2025\,\mathrm{J}$

10.2 Pregunta 2

¿Cuál es su velocidad media entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=10\,\mathrm{s}$ ?

A −3.75 m/s
B −10 m/s
C −22.5 m/s
D −60 m/s

Solución

La respuesta correcta es la B.

Una vez que tenemos la velocidad hallamos la posición, sabiendo que parte de x = 0.

$x = \int_0^t v\,\mathrm{d}t=\frac{3}{2}t^2-\frac{1}{4}t^3$

La posición en t = 10 s es

$x=\frac{300}{2}-\frac{1000}{4}=-100\,\mathrm{m}$

por lo que la velocidad media en este intervalo de tiempo es

$v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-100}{10}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

10.3 Pregunta 3

¿En qué instante(s) del intervalo $0\,\mathrm{s}\leq t \leq 10\,\mathrm{s}$ es nula la potencia desarrollada sobre la partícula?

A Solo en $t=2\,\mathrm{s}$ .
B Solo en $t=0\,\mathrm{s}$ y en $t=2\,\mathrm{s}$ .
C Solo en $t=0\,\mathrm{s}$ .
D En $t=0\,\mathrm{s}$ , en $t=2\,\mathrm{s}$ y $t=4\,\mathrm{s}$

Solución

La respuesta correcta es la D.

La potencia desarrollada sobre una partícula es igual al producto escalar de la fuerza por la velocidad. En un movimiento rectilíneo

$P=Fv =mav\,$

Por tanto se anula cuando se anule la aceleración o la velocidad.

La aceleración se anula, como muestra la gráfica, en t = 2 s.

La velocidad se anula en

$3t-\frac{3}{4}t^2=0\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}t & = & 0\,\mathrm{s} \\ && \\ t & = & 4\,\mathrm{s}\end{array}\right.$

Por tanto la potencia se anula en t = 0 s, t = 2 s y t = 4 s.

10.4 Pregunta 4

¿Cuál es la distancia total recorrida $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=10\,\mathrm{s}$ ?

A −600 m
B −100 m
C 100 m
D 116 m

Solución

La respuesta correcta es la D.

La distancia recorrida no coincide con el desplazamiento porque la velocidad cambia de signo.

El cambio de signo se produce cuando la velocidad se anula que, como se ve en la pregunta anterior, ocurre en t = 4 s.

El desplazamiento entre t = 0 s y t = 4 s es

$\Delta x_1 = x(4\,\mathrm{s})-x(0\,\mathrm{s})=\frac{3}{2}4^2-\frac{1}{4}4^3 = 8\,\mathrm{m}$

y entre t = 4 s y t = 10 s

$\Delta x_2 = x(10\,\mathrm{s})-x(4\,\mathrm{s})=-100-8 = -108\,\mathrm{m}$

Por tanto la distancia total recorrida vale

$\Delta s = |\Delta x_1|+|\Delta x_2| = 116\,\mathrm{m}$

Test de la segunda convocatoria de Física I 2014-2015 (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Ortogonalidad de dos vectores

2 Dos discos en contacto

2.1 Pregunta 1

2.2 Pregunta 2

3 Teorema de la energía mecánica

4 Coche en una curva

4.1 Pregunta 1

4.2 Pregunta 2

5 Movimiento de un sólido

5.1 Pregunta 1

5.2 Pregunta 2

6 Fuerza sobre una varilla

7 Movimiento en polares

8 Colisión completamente inelástica

9 Esfera sobre un plano

10 Partícula con aceleración variable

10.1 Pregunta 1

10.2 Pregunta 2

10.3 Pregunta 3

10.4 Pregunta 4

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