Test de la prueba de control 2013-2014 (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Velocidad cuadrática con la posición
2 Ángulo entre diagonales
3 Movimiento en polares
4 Condición de movimiento uniforme
5 Movimiento en polares
6 Aceleración de la Tierra

1 Velocidad cuadrática con la posición

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto $v = - k x 2$ . Su posición inicial es $x (t = 0) = x 0$

1.1 Pregunta 1

¿Cuáles son las unidades de $k$ en el SI

A 1/(m·s)
B m\tss{3}/s
C m/s
D m/s²

Solución

La respuesta correcta es la A.

Por homogeneidad dimensional, debe ser

$[v]=[k][x]^2\qquad\Rightarrow\qquad \frac{L}{T}=[k]\frac{L^2}{T^2}\qquad\Rightarrow\qquad [k]=\frac{1}{L\cdot T}$

con lo que su unidad en el SI será 1/m·s.

1.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto $x$ ?

A 0.
B 2k²x³.
C No hay información suficiente para calcularla.
D −2kx.

Solución

La respuesta correcta es la B.

Derivamos respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v$

lo cual nos da

$a = (-2kx)(-kx^2)=2k^2x^3\,$

1.3 Pregunta 3

¿Cuánto vale la posición como función del tiempo?

A $x(t)=\displaystyle \frac{x_0}{1+kx_0t}$
B $x(t) =x_0 -kx^2t\,$
C No hay información suficiente para calcularla.
D $x(t) = x_0\mathrm{e}^{-kt}\,$

Solución

La respuesta correcta es la A.

Podemos separar los diferenciales en la expresión de la derivada

$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-kx^2\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{\mathrm{d}x}{x^2}=k\mathrm{d}t$

Integrando aquí desde la posición inicial

$\int_{x_0}^x\left(-\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=\int_0^t k\,\mathrm{d}t$

y queda

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}=kt$

Despejando la posición

$\frac{1}{x}=\frac{1}{x_0}+kt=\frac{1+kx_0t}{x_0}\qquad\rightarrow\qquad x=\frac{x_0}{1+kx_0t}$

2 Ángulo entre diagonales

Se tienen dos vectores a lo largo de las diagonales de las caras de un cubo, con el mismo punto de aplicación. ¿Qué ángulo forman?

A π/4
B π/6
C π/2
D π/3

Solución

La respuesta correcta es la D.

Es fácil ver que el ángulo es de π/3 simplemente completando un triángulo equilátero añadiendo una tercera diagonal:

Puesto que los tres ángulos de un triángulo equilátero son de 60°, se llega a la respuesta correcta.

No obstante, también puede probarse analíticamente de forma sencilla. Los vectores que definen las diagonales son

$\vec{v}_1=\vec{\imath}+\vec{k}\qquad\qquad \vec{v}_2=\vec{\jmath}+\vec{k}$

y el coseno del ángulo que forman vale

$\cos(\alpha)=\frac{\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|}=\frac{0+0+1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

y por tanto

$\alpha=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$

3 Movimiento en polares

Una partícula se mueve de forma que en el SI sus coordenadas polares valen, en todo instante $t > 0$ ,

$\rho = 4/t\qquad\qquad \varphi = (3/4)\ln(t)$

¿Cuánto vale su rapidez en $t=1\,\mathrm{s}$ ?

A 5 m/s
B 4 m/s
C 10 m/s
D $(\sqrt{265})/4$ m/s

Solución

La respuesta correcta es la A.

La velocidad de una partícula en coordenadas polares se calcula como

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi$

En este caso

$\vec{v}=\left.-\frac{4}{t^2}\vec{u}_\rho+\frac{3}{t^2}\vec{u}_\varphi\right|_{t=1}=-4\vec{u}_\rho+3\vec{u}_\varphi$

siendo la rapidez

$|\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

4 Condición de movimiento uniforme

¿Cuál de las siguientes condiciones no define un movimiento uniforme?

A La distancia recorrida aumenta linealmente con el tiempo.
B El vector tangente es constante.
C La rapidez es constante.
D La aceleración tangencial es nula.

Solución

La respuesta correcta es la B.

Si el movimiento es uniforme, su rapidez es constante por definición.

Si la aceleración tangencial es nula, su integral, la rapidez, es constante.

Si la distancia recorrida aumenta linealmente con el tiempo su derivada, la rapidez, es constante.

Por eliminación, solo queda que la constancia del vector tangente no define un movimiento uniforme (sino uno rectilíneo).

5 Movimiento en polares

Una partícula describe un movimiento armónico simple con frecuencia angular 2 rad/s, siendo el fasor de la elongación $\hat{x}=(3+4\mathrm{j})\,\mathrm{m}$ . ¿Cuánto vale su velocidad inicial?

A No hay información suficiente para determinarla.
B 2 m/s
C −8 m/s
D −2 m/s

Solución

La respuesta correcta es la C.

El fasor de una oscilación se relaciona con sus condiciones iniciales por la expresión

$\hat{x}=x_0-\frac{v_0}{\omega}\mathrm{j}$

por lo que

$4 = -\frac{v_0}{2}\qquad\Rightarrow\qquad v_0 = -8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

6 Aceleración de la Tierra

Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, ¿cuánto vale aproximadamente la aceleración normal de la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol?

A 30000 m/s²
B 0.006 m/s²
C 6.0 m/s²
D 0.034 m/s²

Solución

La respuesta correcta es la B.

La tierra describe aproximadamente un movimiento circular uniforme, para el cual la aceleración normal es

$a_n=\omega^2 R\,$

siendo

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

con T, el periodo igual a un año

$T=365.25\times 24\times 60\times 60 = 31\,557\,600\,\mathrm{s}$

Esto nos da una aceleración normal

$a_n = \left(\frac{2\pi}{31\,557\,600}\right)^2\times 150\times 10^6\times 10^3 = 0.0059\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Test de la prueba de control 2013-2014 (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Velocidad cuadrática con la posición

1.1 Pregunta 1

1.2 Pregunta 2

1.3 Pregunta 3

2 Ángulo entre diagonales

3 Movimiento en polares

4 Condición de movimiento uniforme

5 Movimiento en polares

6 Aceleración de la Tierra

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