Test de la 2ª convocatoria 2017-2018 3ª parte (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Rotación de un sólido
- 1.1 Pregunta 1
- 1.2 Pregunta 2
2 Rodadura de un cilindro
3 Par prismático
4 Sistema de fuerzas
5 Barra que cuelga

1 Rotación de un sólido

Un sólido rígido describe un movimiento tal que en un instante dado su velocidad angular es $\vec{\omega}=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}$ (rad/s) y la velocidad del punto A(2,1,2) (m) es $\vec{v}_A=b\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+4\vec{k}$ (m/s).

1.1 Pregunta 1

¿Cuánto debe valer la cantidad b si se sabe que el movimiento instantáneo es de rotación?

A 4 m/s.
B −5 m/s.
C −3 m/s.
D no hay suficiente información para saberlo.

Solución

La respuesta correcta es la B.

La velocidad de cada punto debe ser ortogonal a la velocidad angular

$0=\vec{\omega}\cdot\vec{v}_A=2b+2+8\qquad\Rightarrow\qquad b=-5$

1.2 Pregunta 2

Para el movimiento anterior, ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al EIR?

A B(2,-1,1)
B C(1,3,-1)
C O(0,0,0)
D D(4,-2,-3)

Solución

La respuesta correcta es la A.

En una rotación los puntos del eje cumplen

$\vec{0}=\vec{v}_P=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}$

Probando con los distintos puntos, a la primera sale que $\vec{v}_B=\vec{0}$ .

2 Rodadura de un cilindro

Un rodillo cilíndrico macizo y homogéneo rueda sin deslizar por una superficie horizontal. ¿Qué fracción de su energía cinética total es energía cinética de traslación?

A 33%.
B 67%.
C 50%.
D Depende del radio y la masa del cilindro.

Solución

La respuesta correcta es la B.

La energía cinética de un sólido es

$K = \frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2$

En el caso de un rodillo macizo rodante

$|\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}_G|}{R}\qquad\qquad I=\frac{1}{2}mR^2$

y por tanto

$K_T=\frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2\qquad\qquad K_R=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mR^2\right)\frac{|\vec{v}_G|^2}{R^2}=\frac{1}{4}m|\vec{v}_G|^2$

Siendo la proporción

$\frac{K_T}{K}=\frac{1/2}{1/2+1/4}=\frac{2}{3}=67\%$

3 Par prismático

Dos sólidos se hallan engarzados por un par prismático. ¿Cuántos grados de libertad tiene el movimiento relativo entre los dos sólidos?

A 1.
B 2.
C 3.
D 6.

Solución

La respuesta correcta es la A.

4 Sistema de fuerzas

Sobre un sólido actúan simultáneamente tres fuerzas: $\vec{F}_A=\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-2\vec{k}$ aplicada en A(2,1,0), $\vec{F}_B=\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}$ aplicada en B(1,0,0) y $\vec{F}_C=-2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}$ aplicada en C(0,-2,1) (fuerzas en N, posiciones en m). ¿A qué se reduce este sistema de fuerzas?

A Es un sistema nulo.
B Un par de fuerzas.
C Una fuerza única.
D Un tornillo.

Solución

La respuesta correcta es la A.

No hay más que calcular la resultante

$\vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C=\vec{0}$

y el momento resultante

$\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B+\overrightarrow{OC}\times\vec{F}_C=\vec{0}$

5 Barra que cuelga

Una barra rígida ideal, sin masa, de 60 cm tiene en uno de sus extremos una pesa de 30 N y en el otro una de 10 N. La barra está suspendida del techa por otras dos varillas verticales, engarzadas en puntos O y A de la barra, situados cada uno a 20 cm del extremo. Empleando el sistema de ejes de la figura, ¿cuánto vale la fuerza que ejerce cada una de las varillas de las que cuelga el sistema?