Tensor de inercia de esfera hueca

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Momentos de inercia
3 Productos de inercia
4 Tensor de inercia

1 Enunciado

Sea un sólido en forma de esfera maciza de radio 2b en la que se ha hecho una cavidad también esférica de radio b. La masa total del sólido es m. Determine el tensor de inercia de este sólido respecto al sistema de referencia de la figura.

2 Momentos de inercia

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia, aplicaremos el principio de superposición. Consideramos la esfera hueca como la superposición de dos esferas.

Una esfera “1”, maciza de radio 2b y centro el origen, con masa $m 1$ .
Una esfera “2” maciza de radio b, centro $-b\vec{\imath}$ y masa $m 2$ (siendo $m 2$ negativa).

Para que la superposición de las dos esferas nos de la esfera hueca que tenemos, la masa $m 2$ debe anular la masa de la 1 contenida en el hueco. Por ser el radio la mitad, la masa contenida en esta parte es 1/8 de la total. Por tanto

$m_2+\frac{m_1}{8}=0 \qquad\Rightarrow\qquad m_2=-\frac{m_1}{8}$

Como por otro lado la masa total es m

$m_1+m_2=m\qquad\Rightarrow\qquad m_1-\frac{m_1}{8}=m\qquad\Rightarrow\qquad m_1=\frac{8}{7}m$

y

$m_2=-\frac{m}{7}$

2.1 Respecto al eje OX

El eje X pasa por los dos centros. Por tanto

$I_{xx}=\frac{2}{5}m_1R_1^2+\frac{2}{5}m_2R_2^2 = \frac{2}{5}\left(\frac{8m}{7}\right)(2b)^2+\frac{2}{5}\left(-\frac{m}{7}\right)b^2=\frac{62}{35}mb^2$