Sistema de 5 resistencias

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
- 2.1 Planteamiento general
3 Circuito abierto
4 Cortocircuito
5 Caso intermedio
6 Máxima potencia

1 Enunciado

Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:

$R_5=1\,\mathrm{M}\Omega$
$R_5=1\,\mathrm{m}\Omega$
$R_5 = 25\,\Omega$
El valor de $R 5$ que haga máxima la potencia disipada en ella por efecto Joule.

2 Introducción

Este problema guarda una notable similitud con el de las 4 bombillas, con el añadido de la resistencia central.

En el primer supuesto de este problema, la resistencia central es gigantesca comparada con el resto, por lo que se puede suponer que esa rama se encuentra en circuito abierto, es decir, que no circula corriente por ella. Este caso se reduce al primero del sistema de cuatro bombillas.

En el segundo caso, la resistencia central es minúscula comparada con las otras dos, por lo que se puede tratar como un cortocircuito, es decir, la diferencia de potencial en esa rama es nula. Este caso se reduce al segundo del sistema de cuatro bombillas.

En el tercer caso, la resistencia central es comparable a las otras cuatro, por lo que el sistema no se reduce a los casos anteriores y hay que resolverlo en su integridad.

Para el cuarto caso, no conocemos la resistencia intermedia, por lo que también es precisa la solución completa.

Los dos primeros casos pueden resolverse reduciendo el sistema a asociaciones en serie o en paralelo de cuatro resistencias, como en el mencionado problema de las 4 bombillas. Para no repetir soluciones, aquí plantearemos una solución general, que luego resolveremos para los casos concretos.

2.1 Planteamiento general

En primer lugar, etiquetamos los nodos. Sean A y B los nodos a los que está conectada la fuente y D y E los nodos a los que está unida la resistencia central (siendo D el superior).

Sean $R 1$ y $R 2$ las resistencias de la rama superior y $R 3$ y $R 4$ las de la rama inferior, es decir

$\begin{array}{rclcrcl} R_1 & = & 48\,\Omega &\qquad\qquad & R_2 & = &24\,\Omega \\ R_3 & = & 12\,\Omega &\qquad\qquad & R_4 & = &36\,\Omega \end{array}$

Archivo:cinco-resistencias-etiquetas.png

En lo que sigue, mediremos todas las resistencias en ohmios, todas las intensidades de corriente en amperios y todas las diferencias de potencial en voltios.

Teniendo esto en cuenta, nos queda, por aplicación de la ley de Ohm a cada resistencia

$\begin{array}{rcccl} V_A-V_D & = & \Delta V_1 & = & 48I_1 \\ V_D-V_B & = & \Delta V_2 & = & 24I_2 \\ V_A-V_E & = & \Delta V_3 & = & 12I_3 \\ V_E-V_B & = & \Delta V_4 & = & 36I_4 \\ V_D-V_E & = & \Delta V_5 & = & R_5I_5 \end{array}$

A estas ecuaciones hay que añadir que conocemos la diferencia de potencial entre los extremos

$V_A-V_B = 7.2\,$

y, que de acuerdo con la ley de Kirchhoff para los nodos

$\begin{array}{rcl} I_1& = & I_2+I_5\\ I_3+I_5 & = & I_4 \end{array}$

A partir de estas ecuaciones podemos determinar completamente todas las intensidades de corriente y diferencias de potencial. Sin embargo, es más sencillo comenzar por los dos casos particulares de circuito abierto y cortocircuito.

3 Circuito abierto

En el primer caso, la resistencia intermedia es mucho mayor que las otras cuatro. En la práctica esto quiere decir que la rama central es un circuito abierto y que por ella no circula corriente

$I_5=\frac{\Delta V_5}{R_5}\simeq 0$

ya que la diferencia de potencial nunca va a superar los 7.2V, por lo que esta corriente será de microamperios.

Por tanto, en este caso, la lectura del amperímetro será nula. No así la del voltímetro.

Anulando la corriente en la rama central, la ley de Kirchhoff se reduce a que la corriente circula por dos ramas separadas en paralelo.

$I_5=0\qquad\Rightarrow\qquad\begin{array}{rcl} I_1& = & I_2\\ I_3& = & I_4 \end{array}$

lo que llevado a la ecuación para las diferencias de potencial da

$\begin{array}{rcl} V_A-V_D & = & 48I_1 \\ V_D-V_B & = & 24I_1 \\ V_A-V_E & = & 12I_3 \\ V_E-V_B & = & 36I_3 \end{array}$

Sumando las dos primeras

$7.2 = V_A-V_B = (V_A-V_D)+(V_D-V_B) = 48I_1+24I_1 = 72I_1\,$

lo que nos da la intensidad de corriente

$I_1 = \frac{7.2}{72}=0.100\,\mathrm{A}$

Operamos igualmente para la rama inferior

$7.2 = V_A-V_B = (V_A-V_E)+(V_E-V_B) = 12I_3+36I_3 = 48I_4\qquad\Rightarrow\qquad I_3 = 1.50\,\mathrm{A}$

Conocidas las intensidades de corriente tenemos las diferencias de potencial

$\begin{array}{rcl} V_A-V_D & = & 4.8\,\mathrm{V} \\ V_D-V_B & = & 2.4\,\mathrm{V} \\ V_A-V_E & = & 1.8\,\mathrm{V} \\ V_E-V_B & = & 5.4\,\mathrm{V} \end{array}$

y la lectura del voltímetro central

$V_D-V_E = (V_D-V_B)-(V_E-V_B) = 2.4-5.4 = -3.00\,\mathrm{V}$

Vemos que en un circuito abierto la intensidad de corriente es nula, pero la diferencia de potencial no lo es.

4 Cortocircuito

En el segundo caso, la resistencia central es minúscula comparada con el resto.

En esta situación la diferencia de potencial en la rama central es despreciable

$V_D-V_E=\Delta V_5=I_5R_5\simeq 0\qquad \Rightarrow\qquad V_D = V_E$

lo que nos permite igualar las diferencias de potencial entre resistencias en paralelo

$V_A-V_D = 48I_1=12I_3 \qquad\Rightarrow\qquad I_1 = 0.25I_3$

y

$V_D-V_B = 24I_2=36I_4 \qquad\Rightarrow\qquad I_2 = 1.50I_4$

Llevando esto a la ley de Kirchhoff

$\begin{array}{rcl} 0.25I_3& = & 1.50I_4+I_5\\ I_3+I_5 & = & I_4 \end{array}$

Sumamos las dos ecuaciones

$1.25I_3 = 2.50I_4\qquad\Rightarrow\qquad I_3 = 2.I_4$

Por otro lado tenemos la diferencia de potencial total

$7.2 = (V_A-V_E)+(V_E-V_B) =12I_3+36I_4 = 60I_4\qquad \Rightarrow\qquad I_4 = 0.120\,\mathrm{A}$

Una vez que tenemos una de las intensidades, tenemos todas las demás

$I_3 = 2.0I_4 = 0.24\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_1=0.25I_3 = 0.06\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_2 = 1.50I_4 = 0.180\,\mathrm{A}$

y finalmente la corriente por la rama central

$I_5 = I_1-I_2 = 0.060-0.180 = -0.120\,\mathrm{A}$

El signo negativo quiere decir que va en sentido contrario al supuesto.

5 Caso intermedio

En el caso intermedio debemos resolver el sistema competo de ecuaciones.

La diferencia de potencial total por la rama superior verifica

$48I_1+24I_2=7.2\qquad\Rightarrow\qquad 2I_1 + I_2 = 0.30$

que junto con la ley de Kirchhoff

$I_1= I_5+I_2\,$

nos permite poner las dos intensidades en función de la de la rama central

$I_1 = 0.10 +\frac{1}{3}I_5\qquad\qquad I_2 = 0.10-\frac{2}{3}I_5$

Operando de la misma forma para la rama inferior

$12I_3+36I_4=7.2\qquad\Rightarrow\qquad I_3 + 3I_4 = 0.60$

que junto con

$I_3 = I_4+I_5\,$

nos da

$I_3 = 0.15-\frac{3}{4}I_5\qquad\qquad I_4 = 0.15+\frac{1}{4}I_5$

Ya tenemos las cuatro intensidades en función de la de la rama central. Podemos ver que para el caso $I 5 = 0$ se reduce a la solución del primer apartado.

Estas relaciones las podemos llevar a las ecuaciones para las diferencias de potencial.

$V_A-V_E = (V_A-V_D)+(V_D-V_E) \qquad\Rightarrow\qquad 12I_3=48I_1+25I_5$

Sustituimos aquí las intensidades $I 1$ e $I 3$ y queda

$12\left(0.15-\frac{3}{4}I_5\right)=48\left(0.10 +\frac{1}{3}I_5\right)+25I_5\qquad\Rightarrow\qquad I_5 = -0.060\,\mathrm{A}$

Conocida esta, tenemos el resto

$I_1 = 0.080\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_2 = 0.140\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_3 = 0.195\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_4=0.135\,\mathrm{A}$

La lectura del voltímetro central la da la ley de Ohm

$\Delta V_5 = I_5R_5=-1.50\,\mathrm{V}$

6 Máxima potencia

Para maximizar la potencia debemos suponer un valor de $R 5$ genérico y buscar para que valor

$P = I_5\,\Delta V_5 = I_5^2R_5\,$

es máximo.

Podemos ver que existe un máximo, ya que en cortocircuito ( $R_5\to 0$ ) la d.d.p. se anula y la potencia disipada también. En circuito abierto ( $R_5\to\infty$ ) se anula la intensidad, por lo que también se anula la potencia. Para valores intermedios, en cambio, ni la intensidad ni el voltaje, como acabamos de ver, son nulos, porque sí habrá una potencia disipada. Se trata de hallar la posición del máximo.

El método de solución es exactamente el mismo que el del apartado anterior, salvo en el punto en que se sustituye $R 5$ por 25&Omega. Si no lo hacemos queda