Segunda Convocatoria Ordinaria 2012/13 (G.I.A.)

De Laplace

Partícula sobre una circunferencia con un muelle

Una pequeña bolita $P$ , de masa , $m$ está insertada en un aro de centro $O$ y radio , $R$ fijado en el plano vertical $O X Y$ .La partícula está sometida a la acción de la gravedad, que actúa en la dirección del eje $O X$ $\vec{g}=g\,\vec{\imath}$ , y a la de un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora $k$ , que tiene su otro extremo fijado en el punto del aro cuyas coordenadas son $A ( - R,0,0)$ . El rozamiento entre la bolita y el aro no es despreciable, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento cuyo valor $μ$ es prácticamente el mismo, tanto en el caso de equilibrio estático de la partícula, como cuando ́ésta se desplaza insertada en el aro.

Utilizando el ángulo $θ$ para describir la posición de la partícula $P$ ..

Obtenga la fuerza resultante (incluida la reacción vincular) que actúa sobre la partícula, expresada en el triedro intrínseco.
Si los valores de los parámetros son tales que $m g = k R$ , obtenga las expresiones matemáticas que definen las condiciones de equilibrio estático de la partícula y determine el rango de posiciones de equilibrio.
Obtenga las ecuaciones que han de verificar en cada instante la velocidad y aceleración angulares, $\dot{\theta}(t)$ y $\ddot{\theta}(t)$ . Considérese de nuevo el caso $m g = k R$ y, además, que la partícula se encuentra inicialmente en la posición $θ(t) = 0$ , con una velocidad angular inicial