Rodadura permanente de un disco (GIE)

De Laplace

1 Enunciado

La rodadura permanente de un disco de radio $R$ sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades

$\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}\qquad \qquad \vec{v}_0 = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}$

donde la superficie horizontal se encuentra en $y = - R$ .

Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco. ¿Cuál es el eje instantáneo de rotación?

2 Solución

Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente

Punto A: Su vector de posición relativa es

$\vec{r}_A=-R\vec{\jmath}$

por lo que su velocidad vale

$\vec{v}_A = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_A=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right| = \vec{0}$

Punto B

$\vec{r}_B=R\vec{\imath}$ $\vec{v}_B = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_B=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})$

Punto C

$\vec{r}_C=R\vec{\jmath}$ $\vec{v}_C = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_C=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right| = 2v_0\vec{\imath}$

Punto D

$\vec{r}_D=-R\vec{\imath}$ $\vec{v}_D= \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_D=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})$

Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:

$\vec{v}_P = \overbrace{\vec{v}_A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times(\vec{r}_P-\vec{r}_A)=\vec{\omega}\times(\vec{r}_P-\vec{r}_A)\perp(\vec{r}_P-\vec{r}_A)$

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