Resistencia de una soldadura

De Laplace

Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad

r 1

) de sección

S

y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad

del cable aumenta hasta un valor $r 2$ en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

$r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}$

Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso $S=1\,\mathrm{mm}^2$ , $r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}$ , $r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}$ , $a=2\,\mathrm{mm}$ .
Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es $p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3$ , determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

1 Aumento de la resistencia

La resistencia de un conductor filiforme tiene la expresión

$R = \int \frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}$

donde $d l$ es el diferencial de longitud a lo largo del cable, $σ$ su conductividad y $S$ la sección transversal. Estas dos cantidades pueden depender de la posición. Esta fórmula se puede leer como que la resistencia es la asociación en serie de infinitas resistencias diferenciales

$\mathrm{d}R= \frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}$

En este caso el diferencial de longitud es $d x$ y la sección es uniforme a lo largo del hilo. No así la conductividad.ç

$R = \frac{1}{S}\int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{d}x}{\sigma(x)}$

Si usamos la resistividad en vez de la conductividad la resistencia queda

$R = \frac{1}{S}\int_\infty^\infty r(x)\,\mathrm{d}x$

Esta integral da un resultado infinito (lo que es lógico, si consideramos un cable de longitud infinita), pero en realidad no se está preguntando por la resistencia total, sino por el incremento en la resistencia, esto es la diferencia con el valor que tendría si no hubiera soldadura:

$R_0 = \frac{1}{S}\int_\infty^\infty r_1\,\mathrm{d}x$

así que la cantidad buscada es

$\Delta R = R- R_0 = \frac{1}{S}\int_{-\infty}^\infty (r(x)-r(1))\mathrm{d}x$

Sustituyendo $r (x)$ e integrando esta cantidad obtenemos

$\Delta R = \frac{1}{S}\int_{-\infty}^\infty \frac{(r_2-r_1) \mathrm{d}x}{1+(x/a)^2} = \frac{(r_2-r_1)a}{S}\left.\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{a}\right)\right|_{-\infty}^\infty = \frac{\pi(r_2-r_1)a}{S}$

En el caso particular del enunciado, este aumento vale

$\Delta R = 6.8\,\mathrm{m}\Omega$

lo que equivale a que el cable se comporta como si su longitud hubiera aumentado en 40 cm.

2 Corriente máxima

En situaciones de corriente continua, la intensidad de corriente es la misma a lo largo de todo un cable. Si la sección es uniforme, también la densidad de corriente tiene el mismo valor en todos los puntos. No así el campo eléctrico, que será mayor en los puntos de mayor resistividad. La potencia disipada en cada punto por efecto Joule es

$p = \sigma E^2 = r J^2 = \frac{rI^2}{S^2}$

Esta potencia también será mayor cuanto mayor sea la resistividad. Si no queremos que se supere el umbral de potencia máxima, la corriente no debe exceder el valor

$I_\mathrm{max} = S \sqrt{\frac{p_\mathrm{max}}{\max(r)}}$

ya que en el punto donde sea mayor la resistividad, mayor es el calentamiento y en él es donde se producirá la fusión si ésta ocurre. Antes de la rotura y soldadura la resistividad valía $r 1$ en todos los puntos, por lo que la corriente máxima era

$I_\mathrm{max} = S \sqrt{\frac{p_\mathrm{max}}{r_1}} = 0.2\,\mathrm{A}$

Tras la soldadura, el valor máximo de la resistividad es $r 2$ , lo que nos da un nuevo valor máximo

$I_\mathrm{max}=S \sqrt{\frac{p_\mathrm{max}}{r_2}} = 25\,\mathrm{mA}$

que es inferior al anterior.

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De Laplace

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