Remaches de aluminio en aviones

De Laplace

1 Enunciado

Los remaches de aluminio para construcción de aviones se fabrican un poco más grandes que los agujeros donde han de insertarse y se enfrían con hielo seco (CO₂ sólido) antes de instalarse. Si el diámetro de un agujero es 4.500 mm, ¿qué diámetro debe tener un remache a 23.0^o C para que su diámetro sea igual al del orificio cuando se enfría hasta -78.0^oC, que es la temperatura del hielo seco? Suponga que el coeficiente de dilatación lineal del aluminio es constante y vale $\alpha= 24.0\times10^{-6}(\mathrm{^oC})^{-1}$

2 Solución

Llamemos $D 1$ al diámetro inicial del remache a $T 1 = 23 o C$ . Entonces la sección inicial del remache es

$A_1 = \pi D_1^2/4$

Queremos que su diámetro sea $D_2=4.500\,\mathrm{mm}$ a la temperatura de $T 2 = - 78 o C$ . Por tanto, la sección a esa temperatura será

$A_2 = \pi D_2^2/4$

Dado el coeficiente de dilatación líneal del aluminio, $\alpha=24.0\times10^{-6}\mathrm{(^oC)^{-1}}$ , la relación entre las secciones es

$\displaystyle A_2 = A_1(1+2\alpha\Delta T) \Rightarrow \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi D_1^2}{4}\left(1+2\alpha\Delta T\right)$

La relación entre diámetros es

$D_2 = D_1\sqrt{1+2\alpha\Delta T}$

Como $\alpha\Delta T\ll1$ podemos usar el desarrollo de Taylor $(1+x)^n\simeq 1 + nx$ para obtener

$D_2 \simeq D_1(1+\alpha\Delta T)$

Hay que señalar que llegaríamos a este mismo resultado si hubiéramos buscado desde el principio la variación del diámetro del remache.

La incógnita es $D 1$ , el diámetro del remache a la temperatura $T 1$ . Entonces

$D_1 = \frac{D_2}{1+\alpha\Delta T} = \frac{4.500\,\mathrm{mm}}{\displaystyle 1 + 24\times10^{-6}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \mathrm{^oC}}(-78-23)\mathrm{^oC}}=4.511\,\mathrm{mm}$

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