Refrigerador que sigue un ciclo Otto

De Laplace

Contenido

1 Enunciado del ciclo
2 Esquema del ciclo
3 Presiones, volúmenes y temperaturas
4 Calores
5 Coeficiente de desempeño
6 Rendimiento de la segunda especie
7 Trabajo perdido y producción de entropía

1 Enunciado del ciclo

Se desea construir un refrigerador que funcione con un ciclo Otto inverso. Para ello se tiene una habitación cuya temperatura se desea mantener en 250K, estando el ambiente exterior a 300K y a una presión de 100kPa.

En una de las paredes de la habitación se instala la unidad refrigeradora, que experimenta el siguiente ciclo:

Inicialmente (estado A) una cámara de 0.1m³ está llena de aire (supuesto gas ideal) a la presión y temperatura exteriores, y aislada térmicamente del interior.

A→B: La cámara se aísla del exterior y se expande rápidamente hasta un volumen de 0.2m³. Esta expansión se puede modelar como un proceso adiabático cuasiestático.

B→C: Manteniendo el volumen fijo, se deja que intercambie calor con la habitación, hasta que la temperatura del aire de la cámara iguale a la de la habitación.

C→D: La cámara se comprime rápidamente hasta volver a un volumen de 0.1m³. Esta compresión también se puede modelar como un proceso adiabático cuasiestático.

D→A: Manteniendo el volumen fijo, se deja ahora que intercambie calor con el exterior, hasta que la temperatura del aire de la cámara iguale a la exterior.

Para este proceso cíclico:

Represente de forma esquemática el ciclo en un diagrama pV.
Calcule la presión, volumen y temperatura del gas en cada uno de los vértices del ciclo.
Calcule el calor intercambiado por el aire con la habitación y con el exterior.
Determine el coeficiente de desempeño COP_R de este refrigerador.
Calcule la proporción entre este coeficiente de desempeño y el máximo que podría alcanzar un refrigerador que operara entre las temperaturas indicadas.
Halle el trabajo perdido y la producción de entropía del universo en cada ciclo.

Datos: Constante de los gases ideales: $R=8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol})$ , Relación entre capacidades caloríficas del aire γ = 1.4.

2 Esquema del ciclo

(Este apartado puede hacerse combinado con el siguiente)

El ciclo Otto posee una forma característica, por su aplicación en los motores de explosión de gasolina. En su versión más ideal, está formado por dos adiabáticas y dos isócoras (curvas de volumen constante)

Este sería el esquema del ciclo de un motor de explosión

(INCORRECTO)

Sin embargo, este no puede ser el ciclo de nuestro problema, ya que esta gráfica describe un motor, es decir un dispositivo que transforma calor en trabajo. Este problema trata sobre un refrigerador, es decir, un dispositivo que absorbe una cierta cantidad de trabajo para extraer calor y expulsarlo al exterior. Gráficamente, quiere decir que en un motor el recorrido del ciclo es en sentido horario, pero en un refrigerador es antihorario, así que el esquema correcto debe ser algo así:

En el próximo apartado haremos una gráfica más precisa, aprovechando los valores numéricos, pero la idea es la siguiente. Tenemos el gas a temperatura ambiente. Al expandirlo rápidamente se enfría, cayendo su temperatura por debajo de la de la habitación frigorífica, por lo que el calor pasará de la cámara al gas. Luego se comprime rápidamente, con lo que se calienta por encima de la temperatura exterior. Finalmente se expulsa calor al exterior, aprovechando esta diferencia de temperaturas, y se reinicia el ciclo. El resultado neto es que se está extrayendo calor del interior y expulsándolo al exterior.

Cualquier representación del ciclo Otto en este problema como el de un motor es absurda y muestra que no se ha atendido a la mención explícita de “Ciclo Otto inverso”

3 Presiones, volúmenes y temperaturas

A continuación iremos construyendo una tabla de los diferentes valores de presiones, volúmenes y temperaturas.

El estado inicial del gas de la cámara es

$p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A = 0.1\,\mathrm{m}^3\qquad\qquad T_A = 300\,\mathrm{K}$

En la expansión adiabática, el volumen pasa a

$V_B = 0.2\,\mathrm{m}^3$

La presión la obtenemos por la ley de Poisson

$p_AV_A^\gamma=p_B V_V^\gamma\qquad\Rightarrow\qquad p_B = p_A\left(\frac{V_A}{V_B}\right)^\gamma = 100\times 0.5^{1.4}\,\mathrm{kPa} = 37.9\,\mathrm{kPa}$

y la temperatura por la ley de los gases ideales

$\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}\qquad\Rightarrow\qquad T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=\frac{37.9\times 0.2}{100\times 0.1}300\,\mathrm{K} = 227\,\mathrm{K}$

Vemos que efectivamente la temperatura cae por debajo de la de la habitación refrigerada y el calor pasará de esta al gas de la cámara.

En el estado C, el volumen es el mismo que el de B, y la temperatura la de la habitación. Esto nos da la presión

$V_C = 0.2\,\mathrm{m}^3\qquad\qquad T_C=250\,\mathrm{K}\qquad\Rightarrow\qquad p_C = \frac{T_CV_B}{T_BV_C}p_B = \frac{250}{227}37.9\,\mathrm{kPa}=41.7\,\mathrm{kPa}$

Por último, en el estado D, el volumen vuelve a ser el inicial. Aplicando de nuevo la ley de Posisson

$p_DV_D^\gamma = p_CV_C^\gamma\qquad\Rightarrow\qquad p_D=p_C\left(\frac{V_C}{V_D}\right)^\gamma = 41.7\times 2^{1.4} = 110\,\mathrm{kPa}$

siendo la nueva temperatura

$T_D = \frac{p_DV_D}{p_AV_A}T_A = \frac{110\times 0.1}{100\times 0.1}300\,\mathrm{K}=330\,\mathrm{K}$

Puesto que la temperatura es ahora superior a la ambiente, el calor será expulsado desde el gas hacia el exterior.

A modo de resumen, escribimos los resultados en forma de tabla

Estado	V (m³)	p (kPa)	T (K)
A	0.1	100	300
B	0.2	37.9	227
C	0.2	41.7	250
D	0.1	110	330

Si hacemos una gráfica precisa del comportamiento del gas

Archivo:ciclo-otto-refrigerador-preciso.png

Vemos como efectivamente, la temperatura cae por debajo de la habitación y posteriormente sube por encima de la del exterior.

4 Calores

Los intercambios de calor se producen en los dos procesos isócoros, ya que en los adiabáticos no se intercambia calor.

El calor que entra en el gas entre los estados B y C es, por ser a volumen constante

$Q_\mathrm{in}=nc_v(T_C-T_B)\,$

Podemos hallar esta cantidad, sin necesidad de calcular el número de moles, observando que

$c_v = \frac{R}{\gamma-1}$

y por tanto

$Q_\mathrm{in} = \frac{n R(T_C-T_B)}{\gamma-1}=\frac{(p_C-p_B)V_B}{\gamma-1}=\frac{(41.7-37.9)\times 0.2}{0.4}\,\mathrm{kJ}=1.89\,\mathrm{kJ}$

Del mismo modo, el calor que sale en el sistema lo hace en el paso de D a A

$Q_\mathrm{out}=\frac{(p_D-p_A)V_A}{\gamma-1} = 2.49\,\mathrm{kJ}$

Vemos que se expulsa más calor del que entra, ya que además entra trabajo en el sistema, para hacer funcionar el refrigerador. Este trabajo vale

$W_\mathrm{in,neto}=Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}=0.603\,\mathrm{kJ}$

5 Coeficiente de desempeño

El coeficiente de desempeño de un refrigerador puede hallarse conociendo solamente el calor que entra y el que sale, ya que

$\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{Q_\mathrm{in}}{W_\mathrm{in,neto}}=\frac{Q_\mathrm{in}}{Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}} = \frac{1.89}{2.49-1.89}=3.13$

Alternativamente, combinando las relaciones entre las temperaturas y volúmenes se puede demostrar que el rendimiento es igual a

$\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{T_B}{T_A-T_B}$

que da

$\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{227}{300-227}=3.11$

La diferencia entre los dos resultados se debe a los redondeos efectuados.

6 Rendimiento de la segunda especie

El coeficiente de desempeño máximo lo obtendríamos con una máquina reversible que operara entre la temperatura exterior y la de la habitación refrigerada. Este coeficiente valdría

$\mathrm{COP}^\mathrm{rev}_\mathrm{R} = \frac{T_C}{T_A-T_C}=\frac{250}{300-250}=5$

por lo que, en proporción a este, el de nuestro refrigerador vale

$\epsilon=\frac{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}{\mathrm{COP}^\mathrm{rev}_\mathrm{R}}= \frac{3.13}{5}=0.6236 = 62.6\%$

es decir, no llega a 2/3 del máximo posible.

7 Trabajo perdido y producción de entropía

En un ciclo, este refrigerador absorbe 1.89 kJ. El mínimo trabajo para extraer este calor es

$W_\mathrm{in}^\mathrm{rev}= \frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev}}=\frac{1.89\,\mathrm{kJ}}{5}=0.378\,\mathrm{kJ}$

Puesto que la máquina requiere para funcionar un trabajo de 0.603 kJ, el trabajo perdido es

$W_\mathrm{per}=W_\mathrm{in}-W_\mathrm{in}^\mathrm{rev}= (0.603-0.378)\,\mathrm{kJ}=0.225\,\mathrm{kJ}$

La producción de entropía en este ciclo viene dada por la suma de la que pierde el foco frío con la que gana el caliente.

$\Delta S_u=-\frac{Q_\mathrm{in}}{T_F}+\frac{Q_\mathrm{out}}{T_C}= -\frac{1.89\,\mathrm{kJ}}{250\,\mathrm{K}}+\frac{2.49\,\mathrm{kJ}}{300\,\mathrm{K}} = -7.56\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+8.30\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=0.74\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

Refrigerador que sigue un ciclo Otto

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1 Enunciado del ciclo

2 Esquema del ciclo

3 Presiones, volúmenes y temperaturas

4 Calores

5 Coeficiente de desempeño

6 Rendimiento de la segunda especie

7 Trabajo perdido y producción de entropía

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