Primera convocatoria 2013/14 (F2GIA)

De Laplace

1 Cortezas esféricas con gas ionizado

Dos esferas conductoras huecas concéntricas tienen espesores

δ

despreciables frente a los valores de sus radios,

a

y

2 a

, medidos en centímetros. Inicialmente, ambas cáscaras esféricas se encuentran vacías y descargadas, con la de mayor radio siempre conectada “a tierra”, de manera que el potencial electrostático en dicho conductor es siempre nulo. En el interior vacío de la esfera más pequeña se introduce un gas ionizado (plasma) donde existe una concentración de

n 0

iones por centímetro cúbico, todos ellos con carga

+ e

. Dicha concentración es lo suficientemente baja como para poder considerar que las cargas se distribuyen uniformemente en el volumen.

Determine las densidades de carga eléctrica libre presentes en el sistema, en función de los parámetros indicados en el enunciado.
Expresión del campo eléctrico en todo el espacio. Justifique su respuesta.
Diferencia de potencial entre las dos cáscaras esféricas y valor del potencial en el centro $O$ del sistema.
¿Qué trabajo ha sido necesario realizar para configurar el sistema descrito?

2 Bobina conectada a generador de potencial constante

Un hilo de cobre de sección circular cuyo diámetro es $\delta=1\,\mathrm{mm}$ , se enrolla de forma compacta para formar una bobina cilíndrica recta de radio $a=18\,\mathrm{mm}$ y 400 espiras, todas ellas perpendiculares al eje de la bobina. Ésta se conecta a un generador caracterizado por una fuerza electromotriz $\mathcal{E}_0=2\,\mathrm{V}$ , con una resistencia interna $R_g=10\,\Omega$ , conectada en paralelo con el dispositivo f.e.m ideal.

Calcule la resistencia eléctrica $R$ de la bobina y las intensidades $I b$ e $I g$ de las corrientes estacionarias que se establecen en el sistema. Calcule también la cantidad de calor generada por unidad de tiempo por dichas corrientes.
Determine el campo magnético creado por la corriente de la bobina. Obtenga la expresión del coeficiente de autoinducción $L$ de la bobina en función de los parámetros geométricos del sistema, y calcule el valor de $L$ para los datos proporcionados.
Tras conectar el generador a la bobina, en ésta no se establece la corriente estacionaria $I b$ de forma inmediata, sino que verifica un proceso transitorio para $t\geq 0$ , en el cuál la intensidad varía según la ley exponencial: $I(t)=I_\mathrm{b}\!\ \left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , siendo $τ = L / R$ . Obtenga la expresión que describe cómo varía en el tiempo la señal de tensión $V (t) = V A - V B$ que registra un voltímetro conectado, tal como se indica en la figura, a los extremos de una anilla conductora incompleta de radio $2 a / 3$ y que se encuentra en un plano perpendicular al eje de la bobina.
En el instante $t 0 = τ$ , ¿qué fracción de la potencia suministrada por el generador a la bobina no se disipa en forma de calor? ¿Qué ocurre con la energía no disipada?