Primera Prueba de Control 2011/12 (G.I.A.)

De Laplace

1 Rombo situado en el espacio

El rombo OACB tiene sus lados de longitud unidad y su área es igual a . Su lado OA se encuentra en el plano

OXY de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de π / 4 con el eje OX. El lado OB forma un ángulo de π / 4 con el eje OZ.

1. Calcular la longitud de la diagonal OC
2. Determinar las coordenads cartesianas del vértice C

2 Disco girando con partícula suspendida de cuerda

El mecanismo de la figura consiste en un disco de radio R, siempre contenido en el plano vertical OXY, que se mueve girando alrededor de un punto de su perímetro que coincide con el origen O del sistema de referencia. El movimiento del disco está descrito por la ley horaria θ(t) para el ángulo (medido en radianes) que forma el diámetro con la dirección horizontal OX. Se considera que el sistema parte de la posición inicial θ = 0. En el punto D hay conectada una cuerda flexible e inextensible de longitud L = πR que, cuando el disco gira, se va enrollando sobre su contorno, finalizando el proceso cuando θ = π. Además, un punto material pesado P hace que el tramo de cuerda no enrollado siempre penda verticalmente.

1. Obtenga la ecuación paramétrica de la trayectoria Γ.
2. El extremo D del diámetro realiza un movimiento circular uniforme, siendo su aceleración . ¿Cómo es la correspondiente ley horaria para el ángulo θ?
3. Calcule la expresión de la componente intrínseca de la velocidad de la partícula P.
4. Aceleración tangencial del punto P.
5. Radio de curvatura de la trayectoria de P en el punto de inicial.

3 Equilibrio de partícula y punto sin masa insertados en cuadrilátero vertical

Cuatro varillas de igual longitud d están dispuestas formando un cuadrado ODEC, contenido en el plano vertical OXY. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₁conecta el vértice fijo C del cuadrilátero con un punto A de masa despreciable que puede desplazarse a lo largo de la varilla horizontal superior . Además, una partícula material B, cuya masa tiene un valor m está insertada en el lado vertical de manera que su movimiento está limitado a desplazamientos sobre dicha varilla. Un segundo resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₂ conecta la partícula B al punto A. Los valores de los parámetros del sistema son tales que K₂d > mg.

1. Considerando que los vínculos son perfectamente lisos, determine las posiciones de equilibrio de las partículas A y B.
2. Considérese ahora que, mientras que el vínculo en B sigue siendo liso, la partícula sin masa A está sometida a un vínculo rugoso cuya fuerza de rozamiento verifica las leyes del rozamiento seco. ¿Cuáles son las posiciones de equilibrio?