Posición aparente de un avión supersónico

De Laplace

1 Enunciado

Un avión supersónico vuela a Mach 1.8 a 3 km de altura. Determine el tiempo entre que pasa por la vertical de un observador situado en el suelo y que a éste le llegue el frente de la onda de choque. Cuando llega este sonido, ¿dónde parece que se encuentra el avión, a juzgar por el ruido? ¿A qué distancia de su posición real en ese instante?

2 Solución

Un avión que viaja a velocidad supersónica emite una onda de choque en todo instante, no sólo cuando rompe la barrera del sonido. La onda de choque se propaga con una ángulo $θ$ respecto a la dirección de movimiento del avión (las líneas rojas en la figura). Éste es el ángulo de Mach. El número de Mach se define como

$M=\frac{1}{\mathrm{sen}\,\theta}$

La figura adjunta muestra la posición del avión cuando emitió la onda de choque que percibe el observador (A), cuando está en la vertical del observador (B) y cuando la onda de choque llega a la posición del observador (C). La línea azul, que indica el camino seguido por la onda de choque detectada por el observador, es perpendicular a la onda de choque. En la figura se indica también las otras apariciones del ángulo $θ$ . A partir de la definición del número de Mach tenemos

$\begin{array}{lcccr} \displaystyle\mathrm{sen}\,\theta=\frac{1}{M},&& \displaystyle\cos\theta=\frac{\sqrt{M^2-1}}{M},&& \displaystyle\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{M^2-1}} \end{array}$

Como tenemos el dato de la altura a la que viaja el avión, $h=3\,\mathrm{km}$ , y el número de Mach, $M = 1.8$ , podemos determinar las distancias $x 1$ y $x 2$ en el dibujo.

$\begin{array}{l} \displaystyle x_1 = h\,\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{M^2-1}}=2.00\,\mathrm{km}\\ \\ \displaystyle x_2 = \frac{h}{\tan\theta}=h\sqrt{M^2-1}=4.49\,\mathrm{km} \end{array}$

Entre el instante en el que el el avión pasa por la vertical del observador y éste recibe la onda de choque emitida por el avión en el punto A, el avión ha recorrido la distancia $x 2$ . La velocidad del avión es

$v_F=M\,c=617\,\mathrm{m/s}=2.22\times10^3\,\mathrm{km/h}$