Percusión sobre un sistema articulado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Percusión en OA
4 Percusión en AB

1 Enunciado

Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema “dos barras articuladas” suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión $\vec{P}_0$ perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.

Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:

Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.

2 Introducción

La ecuación básica que gobierna un sistema sometida a percusiones es la de Lagrange

$\Delta\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right)=\hat{Q}_k$

suponiendo coordenadas independientes y siendo $\hat{Q}_k$ la percusión generalizada

$\hat{Q}_k=\sum_i P_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}=\sum_i P_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}$

donde las $x i$ son las coordenadas del punto donde se aplica la percusión.

En nuestro caso el sistema tiene dos grados de libertad, que podemos describir con el ángulo ϕ que la varilla OA forma con el eje OX y el ψ que la varilla AB forma con el mismo eje.

En este caso, podemos emplear la energía cinética para el sistema de dos varillas que se describe en el problema citado:

$T=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\cos(\psi-\phi))$

Sin embargo, tal como se ve en dicho problema, la deducción es un tanto laboriosa y requiere emplear diferentes base vectoriales.

En el caso de una percusión, el cálculo puede simplificarse sustituyendo las coordenadas por los valores que tienen en el momento de la percusión, ya que

durante una percusión, el intervalo es tan corto que no da tiempo a que cambien las coordenadas.
las derivadas que hay que calcular son respecto a las velocidades, con lo que se pueden tratar las coordenadas como constantes.

Teniendo esto en cuenta, hallamos las velocidades instantáneas de los puntos A y B respecto a un sistema fijo

$\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{31}=\dot{\phi}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}$

y

$\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\dot{\psi}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=b(\dot{\phi}+\dot{\psi})\vec{\jmath}$

Obsérvese que no hace falta distinguir qué base vectorial estamos empleando ya que todas son coincidentes en ese momento.

La energía cinética en ese instante es entonces, aplicando la expresión para la energía cinética de una varilla

$T=\frac{m}{6}|\vec{v}^A_{21}|^2+\frac{m}{6}\left(|\vec{v}^A_{31}|^2+|\vec{v}^B_{31}|^2+\vec{v}^A_{31}\cdot\vec{v}^B_{31}\right)$

Sustituimos las expresiones anteriores y queda

$T=\frac{mb^2}{6}\left(\dot{\phi}^2+\dot{\phi}^2+(\dot{\phi}+\dot{\psi})^2+\dot{\phi}(\dot{\phi}+\dot{\psi})\right)=\frac{mb^2}{6}\left(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\right)$

Este es el mismo resultado al que se llega haciendo $cos(ψ - φ) = 1$ en la expresión general, pero el proceso es más simple.

Derivamos ahora respecto a cada velocidad generalizada y queda para ϕ

$\Delta \left(\frac{mb^2}{6}(8\dot{\phi}+3\dot{\psi})\right)=\hat{Q}_\phi$

y para ψ

$\Delta \left(\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}+2\dot{\psi})\right)=\hat{Q}_\phi$

Dado que las velocidades iniciales son nulas, llegamos al sistema

$\begin{array}{rcl} 8\dot{\phi}^++3\dot{\psi}^+ &=& \dfrac{6}{mb^2}\hat{Q}_\phi \\ &&\\ 3\dot{\phi}^++2\dot{\psi}^+ &=& \dfrac{6}{mb^2}\hat{Q}_\psi \end{array}$

con solución

$\dot{\phi}^+=\frac{6}{7mb^2}(2\hat{Q}_\phi-3\hat{Q}_\psi)\qquad\qquad \dot{\psi}^+=\frac{6}{7mb^2}(-3\hat{Q}_\phi+8\hat{Q}_\psi)$

Las velocidades de los puntos A y B, dadas estas velocidades angulares, valen

$\vec{v}^A_{21}=\frac{6}{7mb}(2\hat{Q}_\phi-3\hat{Q}_\psi)\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^B_{31}=\frac{6}{7mb}(-\hat{Q}_\phi+5\hat{Q}_\psi)\vec{\jmath}$

Se trata entonces de hallar las percusiones generalizadas en cada uno de los dos casos considerados.

3 Percusión en OA

La percusión ocurre en un punto D de las barras. Al ser su dirección perpendicular a las barras, su expresión vectorial es

$\vec{P}_0=P_0\vec{\jmath}$

esto es, solo tiene componente y. Por ello, las percusiones generalizadas se reducen ahora

$\hat{Q}_\phi=P_0\frac{\partial \dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}\qquad\qquad \hat{Q}_\psi=P_0\frac{\partial \dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}$

Si D está en la barra OA, a una distancia c de A, su velocidad instantánea es

$\vec{v}^D_{21}=\dot{x}_D\vec{\imath}+\dot{y}_D\vec{\jmath}=(b-c)\dot{\phi}\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}_D & = & 0 \\ \dot{y}_D&=&(b-c)\dot{\phi}\end{array}\right.$

lo cual nos da las derivadas

$\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\phi}}=\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\psi}}=\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=0\qquad\qquad \frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=b-c$

por lo que los impulsos generalizados valen en este caso

$\hat{Q}_\phi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=P_0(b-c)\qquad\qquad \hat{Q}_\psi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=0$

y las velocidades angulares, justo tras la percusión

$\dot{\phi}^+=\frac{12(b-c)}{7mb^2}P_0\qquad\qquad \dot{\psi}^+=-\frac{18(b-c)}{7mb^2}P_0$

La diferencia de signos implica que la barra AB gira en sentido horario, mientras la OA lo hace en sentido antihorario, empujada por la percusión.

Las velocidades de los puntos A y B valen

$\vec{v}^A_{21}=\frac{12(b-c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^B_{31}=-\frac{6(c-b)}{7mb}P_0\vec{\jmath}$

4 Percusión en AB

Si el punto D está en la barra AB su velocidad es

$\vec{v}^D_{31}=\vec{v}^A_{31}+\dot{\psi}\vec{k}\times\overrightarrow{AD}=(b\dot{\phi}+c\dot{\psi})\vec{\jmath}$

siendo las derivadas parciales

$\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\phi}}=\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\psi}}=0\qquad\qquad \frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=c\qquad\qquad \frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=b$

las percusiones generalizadas

$\hat{Q}_\phi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=P_0b\qquad\qquad \hat{Q}_\psi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=P_0c$

y las velocidades angulares tras la percusión

$\dot{\phi}^+=\frac{6(2b-3c)}{7mb^2}P_0\qquad\qquad \dot{\psi}^+=\frac{6(-3b+8c)}{7mb^2}P_0$

En cuanto a signos, ahora tenemos las siguientes posibilidades

$0 < c < 3 b / 8$ . La barra OA comienza a girar en sentido antihorario y AB en sentido horario, como en el caso anterior.
$3 b / 8 < c < 2 b / 3$ . Las dos barras comienzan a girar en sentido antihorario.
$c > 2 b / 3$ la barra OA comienza a girar en sentido horario y AB en sentido antihorario.

Las velocidades de los puntos A y B valen ahora

$\vec{v}^A_{21}=\frac{6(2b-3c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^B_{31}=\frac{6(-b+5c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}$

Esto nos da un nuevo caso de interés. Si $c = b / 5$ e extremo B permanece en reposo instantáneo. Si es mayor comienza a moverse en el sentido de $+\vec{\jmath}$ y si es menor en sentido opuesto.

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