Paso de un pulso de corriente

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Carga que recorre el hilo
3 Energía disipada en el hilo

1 Enunciado

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica $R 1$ circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

$I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}$

Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre $t\to -\infty$ y $t\to\infty$ .
Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

2 Carga que recorre el hilo

La carga que pasa por una sección del hilo en un tiempo $d t$ es

$\mathrm{d}Q=I(t)\,\mathrm{d}t$

Por lo que la carga total que pasa vale

$Q= \int_{-\infty}^\infty I(t)\,\mathrm{d}t$

En este caso, tenemos que la corriente es nula salvo en el intervalo $0 < t < T$ por lo que el cálculo se reduce a

$Q = \int_0^T I(t)\,\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\int_0^T (tT-t^2)\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\left(\frac{T^3}{2}-\frac{T^3}{3}\right) = \frac{I_0T}{6}$

3 Energía disipada en el hilo

La energía disipada se calcula de forma análoga a partir de la potencia

$W_d = \int_0^T I^2R_1\,\mathrm{d}t = \frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (tT-t^2)^2\mathrm{d}t =$ $\,\,\frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (t^2T^2-2t^3T+t^4)\mathrm{d}t=\frac{I_0^2R_1}{T^4}\left(\frac{T^5}{3}-2\frac{T^5}{4}+\frac{T^5}{5}\right) = \frac{I_0^2TR_1}{30}$

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