Partícula sometida a la acción de dos muelles colineales, Enero 2012 (G.I.C.)
De Laplace
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1 Enunciado
Se tiene el sistema de la figura, formado por dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas k1 y k2 . Los puntos de anclaje de los muelles están separados por una distancia L. Una partícula de masa m está conectada a los dos muelles y se mueve bajo la acción de éstos. El rozamiento con la superficie es despreciable. Los valores numéricos de los parámetros del problema son , , , .
- Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
- Calcula la energía potencial elástica de la partícula cuando está en su posición de equilibrio.
- Estando la partícula en la posición de equilibrio, se le da un empujón hacia la derecha de modo que su velocidad inicial es v0. ¿Cuál es el período de las oscilaciones de la partícula?
- Si el valor numérico de la velocidad inicial es , ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones de la partícula?
2 Solución
2.1 Posición de equilibrio
Las únicas fuerzas que hay que considerar son las que ejercen los muelles. El peso queda compensado siempre por la fuerza de reacción vincular y no hay rozamiento. Como los muelles tienen longitud natural nula, si la posición de la partícula viene dada por la coordenada x, la fuerza que cada uno de los muelles ejerce sobre ellas es
EL muelle 1 tira de la partícula hacia la izquierda y el muelle dos hacia la derecha.
La posición de equilibrio se obtiene imponiendo que la suma de las dos fuerzas es cero
Con los datos numéricos del problema tenemos
2.2 Energía elástica en la posición de equilibrio
La energía potencial elástica total es la suma de la energía potencial elástica de cada muelle. Como ambos tienen elongación natural nula, en la posición de equilibrio tenemos
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
2.3 Período de oscilación
Al separarla de su posición de equilibrio, la partícula se mueve bajo la acción de las fuerzas de los muelles. La Segunda Ley de Newton se escribe
Al ser el movimiento unidireccional, esta ecuación puede escribirse usando sólo las componentes
Es mejor describir el movimiento respecto de la posición de equilibrio. Definimos
s(t) = x(t) − xeq
Y por tanto
Escribimos la Segunda Ley en términos de la variable s(t)
Teniendo en cuenta la expresión de la posición de equilibrio, los dos últimos sumandos se cancelan. Pasando la masa a la izquierda podemos escribir la ecuación como
Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple con frecuencia angular
El período de oscilación es
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
2.4 Amplitud de las oscilaciones
La situación descrita en el enunciado equivale a las condiciones iniciales
La solución general de la ecuación de movimiento puede escribirse como
Derivando una vez tenemos
Imponiendo las condiciones iniciales
El movimiento viene descrito por la función
y la amplitud de la oscilación es
2.4.1 Resolución alternativa
La solución de la ecuación de movimiento también buscarse de la forma
s(t) = Acos(ωt + φ)
Derivando una vez tenemos
Al imponer las condiciones iniciales obtenemos dos ecuaciones
Dividimos la segunda ecuación por ω, elevamos las dos al cuadrado y las sumamos. Como sen2α + cos2α = 1 obtenemos
A = v0 / ω
Para obtener φ, observamos que de la primera ecuación obtenemos
En la segunda ecuación, si elegimos que A sea positiva, tenemos que el es negativo. Por tanto φ = − π / 2.
La solución final es
Esta solución es equivalente a la anterior. Usando la relación
vemos que
Si hubiéramos supuesto que A es negativa, habríamos obtenido φ = + π / 2, con lo cual la solución sería
Pero usando la misma relación del coseno de una suma vemos que esta expresión es equivalente a la anterior