Partícula en un cuenco
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula de masa m se desliza sin rozamiento dentro de un recipiente de forma hemisférica de radio R. Demuestre que el movimiento de la partícula sobre el cuenco es equivalente a un péndulo de longitud R.
2 Solución
La equivalencia es evidente sin más que sustituir los vínculos por sus reacciones equivalentes.
2.1 Caso de un péndulo
Consideremos un péndulo simple, cuya lenteja está unida a su centro a través de un hilo. La condición que impone ese hilo es que la distancia de la masa al centro es menor o igual a la longitud del hilo
La reacción correspondiente a este vínculo es la tensión del hilo 
, que ejerce la fuerza necesaria para que la masa no se aleje más de esta longitud.
2.2 Caso de un cuenco
La partícula, cuando se mueve sobre el cuenco esférico, está obligada a permanecer en su interior. Si la superficie del cuenco estádefinida por la ecuación r = R, la condición de que la partícula se mueve por el interior es
La reacción vincular en este caso es la normal a la superficie 
, que impide que la partícula la atraviese.
Puesto que matemáticamente ambas condiciones son idénticas, las reacciones vinculares también tendrán el mismo valor (aunque se ejerzan por agentes diferentes y desde lados distintos de la partícula) y el movimiento de la partícula será idéntico en ambos casos.
Si la partícula está en las proximidades del fondo del cuenco, y sometida a la acción de la gravedad, realizará oscilaciones en torno al mínimo, con periodo
Hay que señalar, no obstante, que el cuenco no es equivalente a cualquier péndulo simple, sino a aquellos sujetos al centro por un hilo flexible, no por una barra rígida. La razón es que el vínculo asociado al cuenco es unilateral. La superficie puede impedir que r > R, pero no que r < R, ya que la partícula puede "volar" y separarse de la superficie.
Un péndulo colgado por un hilo flexible tiene el mismo comportamiento: no puede impedir que la partícula se acerque al centro una distancia menor que la longitud del hilo.
Un péndulo rígido, en cambio, produce un vínculo bilateral, la partícula tiene que estar necesariamente a una distancia l del centro, ni mayor ni menor.
Una situación en que se aprecia la diferencia es en el problema siguiente: ¿qué velocidad hay que comunicarle a la partícula en su punto más bajo para que llegue hasta el punto más alto(supuesto el cuenco una esfera completa)? La respuesta es diferente para un péndulo rígido que para un cuenco (o un péndulo flexible)
