De Laplace

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1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula realiza un movimiento rectilíneo de modo que, en cada instante, su aceleración es $a = - k v 2$ . En el instante inicial su velocidad es $v 0 > 0$ y está situada en el origen. Calcula su velocidad y posición en cada instante.

2 Solución

2.1 Velocidad

El enunciado nos da una ecuación diferencial para $v (t)$

$a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -kv^2 \Longrightarrow \mathrm{d}v = -kv^2\mathrm{d}t \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}v}{v^2} = -k\mathrm{d}t$

Integramos en los dos lados

$\dfrac{1}{v} = kt + C$

La constante queda determinada por la condición inicial

$t=0 \Longrightarrow \dfrac{1}{v_0} = C$

Despejando tenemos

$v(t) = \dfrac{v_0}{1+kv_0t}$

2.2 Posición

Ahora planteamos la ecuación diferencial para $x (t)$

$v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v_0}{1+kv_0t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = \dfrac{v_0}{1+kv_0t}\,\mathrm{d}t$

Integrando

$x = \dfrac{1}{k}\ln(1+kv_0t) + C$

De nuevo determinamos la constante de integración a partir de la condición inicial

$t=0 \Longrightarrow x=0 = \ln(1) + C \Longrightarrow C = 0$

Entonces

$x = \dfrac{1}{k}\ln(1+kv_0t)$

2.3 Comentario sobre la corrección del ejercicio en la Prueba de Control

Una de las opciones ofrecidas en el test de la Prueba era, para la velocidad

$v = v 0 - k v 2 t,$

y para la posición

$x = v_0t - \dfrac{1}{2}kv^2t^2.$

Esto no es correcto. Estas expresiones resultan de aplicar las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, pero en este caso la aceleración no es constante, $a$ depende de la velocidad. Hay que integrar la ecuación diferencial, como hemos hecho arriba.

Partícula en movimiento rectilíneo sometida a fuerza dependiente de la velocidad, Noviembre 2017 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

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2 Solución

2.1 Velocidad

2.2 Posición

2.3 Comentario sobre la corrección del ejercicio en la Prueba de Control

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