De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje $O X$ de modo que en el instante inicial $t = 0$ se encuentra en la posición $x (0) = x 0$ . Calcula la posición y velocidad de la partícula en todo instante de tiempo para los siguientes casos:

Su velocidad es constante e igual a $v 0$ .
Su aceleración es constante, $a (t) = a 0$ , y su velocidad inicial es $v (0) = v 0$ .
Su aceleración es $a (t) = A t 2$ , siendo $A$ una constante, y su velocidad inicial es $v (0) = v 0$ .

2 Solución

2.1 Velocidad constante

Tenemos $v (t) = v 0$ . A partir de la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo

$v(t) = v_0 = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int v_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x(t) = v_0t + C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_0 \Longrightarrow C = x_0$

Por tanto

$x (t) = x 0 + v 0 t .$

2.2 Aceleración constante

Tenemos $a (t) = a 0$ . A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

$a(t) = a_0 = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}v = a_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}v =\int a_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow v(t) = a_0t + C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la velocidad

$v(0)=v_0 \Longrightarrow C = v_0$

Por tanto

$v (t) = v 0 + a 0 t .$

Una vez que tenemos $v (t)$ podemos obtener $x (t)$ de manera similar al apartado anterior

$v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int (v_0 + a_0t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x(t) = v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2 + C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_0 \Longrightarrow C = x_0$

Por tanto

$x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2$

2.3 Aceleración dependiente de la velocidad

El proceso es similar, pero ahora la aceleración depende del tiempo: $a (t) = A t 2$ . A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

$a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}v = a(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}v =\int a(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}v =\int At^2\,\mathrm{d}t \Longrightarrow v(t) = \dfrac{1}{3}At^3 + C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la velocidad

$v(0)=v_0 \Longrightarrow C = v_0$

Por tanto

$v(t) =v_0 + \dfrac{1}{3}At^3.$

Una vez que tenemos $v (t)$ podemos obtener $x (t)$

$v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int (v_0 + \dfrac{1}{3}At^3)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x(t) = v_0t + \dfrac{1}{12}At^4 + C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_0 \Longrightarrow C = x_0$

Por tanto

$x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{12}At^4$

Podemos verificar que la expresión es correcta desde el punto de vista dimensional. Todos los términos de la derecha deben tener como unidad base en el SI $[x] = m$ . Los dos primeros son evidentes. Para el tercero necesitamos las unidades de $A$ , que se obtienen a partir de la expresión de $a (t)$ del enunciado

$a = At^2 \Longrightarrow [A] = \dfrac{[a]}{[t^2]} = \dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{s^2}} = \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^4}}.$

Entonces

$\left[\dfrac{At^4}{12}\right] = \dfrac{\mathrm{ms^4}}{\mathrm{s^4}} = \mathrm{m}.$

Esto nos garantiza que la expresión que hemos obtenido no está catastróficamente mal.

Partícula en movimiento rectilíneo con datos dependientes del tiempo

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Velocidad constante

2.2 Aceleración constante

2.3 Aceleración dependiente de la velocidad

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