De Laplace

1 Enunciado

Una masa $m$ está conectada a dos muelles como se indica en la figura. El muelle superior tiene constante elástica $k 1$ y longitud natural nula, mientras que el inferior tiene constante elástica $k 2$ y longitud natural $l 0$ . Además la gravedad actúa en dirección vertical. Determina la posición de equilibrio de la masa.

2 Solución

La partícula puede moverse sólo en posición vertical. La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula, a saber, su peso y las fuerzas de los muelles. Todas ellas son fuerzas activas, en este caso no hay ninguna fuerza vincular. Las expresiones de las fuerzas son, utilizando el eje $O X$ de la figura,

$\begin{array}{l} \vec{P} = -mg\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{F}_{k1} = -k_1\overrightarrow{AP} = -k_1\,(x-d)\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{F}_{k2} = -k_2\,(x-l_0)\,\vec{\imath}. \end{array}$

El muelle 1 tiene longitud natural nula, mientras que el segundo tiene longitud natural $l 0$ . Por eso las expresiones de las fuerzas son diferentes. Señalemos también que antes de resolver el problema conocemos el sentido de dos fuerzas: el peso, hacia abajo, y la del muelle 1, hacia arriba, por tener longitud natural nula. El sentido de la fuerza ejercida por el muelle 2 depende de la posición de la partícula.

Tenemos una incógnita en el sistema, el valor de $x$ en el equilibrio. La condición de equilibrio es

$\vec{P} + \vec{F}_{k1} + \vec{F}_{k2} = \vec{0}$