De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ cuelga de una cuerda inextensible sin masa. La cuerda desliza sobre el punto $A$ . A su vez, este punto se mueve sobre una circunferencia de radio $R$ . La longitud de la cuerda cambia en el tiempo según la ley $l (t) = 2 R (1 - Ω t)$ . En el instante inicial el punto $A$ se encontraba sobre el eje $X$ , a la derecha del origen.

Escribe el vector de posición de la partícula
El punto $A$ realiza un movimiento circular uniforme con una aceleración que cumple $|\vec{a}_A| = 9R\Omega^2$ . Encuentra la velocidad de la partícula $P$ .
Calcula el vector normal de la trayectoria de la partícula y su curvatura en el instante $t = 0$ .

2 Solución

2.1 Vector de posición

El vector de posición de la partícula $P$ puede escribirse como

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}$

Tenemos

$\overrightarrow{OA} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.$

Por otra parte

$\overrightarrow{AP} = -\overline{AP}\,\vec{\jmath} = -(l-R)\,\vec{\jmath} = -(R-2\Omega t)\,\vec{\jmath}.$

Entonces

$\overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,(\,\mathrm{sen}\,\theta -1 + 2\Omega t)\,\vec{\jmath}.$

2.2 Velocidad de la partícula

El punto $A$ realiza un movimiento circular uniforme. Entonces

$\dot{\theta}=cte, \qquad \ddot{\theta}=0.$

Tenemos

$\vec{v}_A = \dot{\overrightarrow{OA}} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}.$

Y derivando otra vez

$\vec{a}_A = \dot{\vec{v}}_A = -R\dot{\theta}^2\cos\theta\,\vec{\imath} - R\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.$

El módulo de la aceleración es

$|\vec{a}_A| = R\dot{\theta}^2 = 9R\Omega^2.$

Entonces

$\dot{\theta} = 3\Omega \Longrightarrow \theta = 3\Omega t.$

Hemos usado que $θ(0) = 0$ , como dice el enunciado, pues en el instante inicial el punto $A$ estaba sobre el eje $X$ a la derecha del origen.

Entonces, para el punto $P$ tenemos

$\begin{array}{l} \vec{v}_P = R\Omega \,[-3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (2+3\cos\theta)\,\vec{\jmath}],\\ \vec{a}_P = -9R\Omega^2\,(\cos\theta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}). \end{array}$