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No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El plano vertical fijo OX_1Y_1\, (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento vinculados entre sí: la manivela ranurada OA\, (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de OZ_1\,; y la varilla BD\, (sólido "2"), de longitud 2R\,, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela OA\, mientras su centro C\, recorre la ranura de la misma y su extremo B\, se apoya y desliza sobre el eje OX_1\, permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo \theta\, que forma la manivela OA\, con respecto al eje OX_1\, (ver figura). Se pide:

  1. Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación I_{01}\,, I_{20}\, e I_{21}\,.
  2. Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto B\,, es decir, \{\vec{\omega}_{01}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{01}(\theta,\dot{\theta})\}\,, \{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}\, y \{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}\,.
  3. Determinar analíticamente la posición de I_{21}\, (en función de \theta\,).

2 Determinación gráfica: C.I.R.{01}, C.I.R.{20} y C.I.R.{21}

La manivela ranurada (sólido "0") se halla articulada en su extremo O\, al origen de la escuadra fija OX_1Y_1\, (sólido "1"). Por tanto, dicho punto O\, es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

I_{01}\equiv O

Se nos indica que la varilla BD\, (sólido "2") se mantiene siempre perpendicular a la manivela OA\, (sólido "0") mientras su centro C\, recorre la ranura de la misma. El hecho de que varilla y manivela mantengan entre sí un ángulo constante (\pi/2\,\,\mathrm{rad}\,) implica que el movimiento {20} es una traslación permanente. Por tanto, el centro instantáneo de rotación de este movimiento se halla en el infinito en la dirección perpendicular a la dirección de la traslación. La dirección de la velocidad de traslación {20} coincide con la dirección de la ranura, ya que en ella se encuentra confinado el centro C\, de la varilla BD\, (ver figura). Así pues, se concluye que:

I_{20}\rightarrow\infty\parallel \overline{BD}\perp\overline{OA}

Dado que el extremo B\, de la varilla (sólido "2") desliza permanentemente sobre el eje OX_1\, (sólido "1"), la velocidad \vec{v}^{B}_{21}\, tiene necesariamente la dirección del eje OX_1\,. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto B\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{01}\, e I_{20}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{21}\, en la intersección de ambas rectas (ver I_{21}\, en la figura adjunta).

3 Cálculo de las reducciones cinemáticas (en el punto B)

Comenzaremos determinando todas las velocidades angulares.

Al ser \theta\, el ángulo formado por la manivela OA\, (sólido "0") y el eje OX_1\, (sólido "1"), la velocidad angular \vec{\omega}_{01}\, es igual a \dot{\theta}\,\vec{k}_1\, (con signo positivo porque a \dot{\theta}>0\, correspondería una rotación antihoraria).

Por otra parte, sabemos que la velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, es nula (ya que {20} es una traslación).

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\,.

En resumen:

\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{20}=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1

Deduzcamos ahora las tres velocidades del punto B\,.

Conocidos el valor de \vec{\omega}_{01}\, y la posición del C.I.R.{01} (I_{01}\equiv O\,), la velocidad \vec{v}^{\, B}_{01}\, se obtiene mediante la correspondiente ecuación del campo de velocidades:

\vec{v}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\dot{\theta}\,\vec{k}_1\times\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_1=\frac{R\dot{\theta}}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_1

donde la expresión del vector \overrightarrow{OB}\, en función de \theta\, se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo OBC\,.

Por otra parte, la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\, se puede obtener a partir de su definición:

\vec{v}^{\, B}_{21}=\left.\frac{d\vec{r}^{\, B}_{21}}{dt}\right|_1=\left.\frac{d\left(\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_1\right)}{dt}\right|_1=-\displaystyle\frac{R\dot{\theta}\,\mathrm{cos}(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\,\vec{\imath}_1

Finalmente, la ley de composición de velocidades permite deducir el valor de la velocidad \vec{v}^{\, B}_{20}\,:

\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}\,\,\Rightarrow\,\,\vec{v}^{\, B}_{20}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\vec{v}^{\, B}_{01}= -\frac{R\dot{\theta}}{\mbox{sen}^2(\theta)}\left[\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\right]

4 Determinación analítica del C.I.R.{21}

Para determinar analíticamente el vector de posición de I_{21}\,, sumamos al vector \overrightarrow{OB}\, el vector \overrightarrow{BI_{21}}\, calculado mediante la fórmula deducida en la teoría:

\overrightarrow{OI_{21}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BI_{21}}=\overrightarrow{OB}+\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, B}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{2}}=\frac{R}{\mbox{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_1-\frac{R\,\mathrm{cos}(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\,\vec{\jmath}_1
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