No Boletín - Rectilíneo con aceleración exponencialmente decreciente (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial ( $t=0\,$ ), se mueve con una aceleración exponencialmente decreciente en el tiempo según la fórmula:

$\vec{a}(t)=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\,\vec{\imath}$

donde $\,g\,$ y $\,\lambda\,$ son constantes positivas conocidas.

¿Hacia qué valor límite tiende la velocidad de dicha partícula cuando se deja pasar mucho tiempo ( $t\rightarrow\infty\!\,$ ) ?

2 Solución

Conforme a la definición de aceleración instantánea, podemos escribir:

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)$

Conocemos también la velocidad inicial (la partícula se hallaba en reposo en $t=0\,$ ):

$\vec{v}(0)=\vec{0}$

Determinamos la velocidad de la partícula para $t>0\,$ integrando su aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\,\vec{\imath} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \mathrm{d}\vec{v}=g\, e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\mathrm{d}t\,\,\vec{\imath} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\, \vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=g\,\left(\,\displaystyle\int_{0}^{\, t}\!e^{\displaystyle -\lambda\, t}\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{v}(t)=\frac{g}{\lambda}\left(1-e^{\displaystyle -\lambda\, t}\right)\,\vec{\imath}$

Por tanto, el valor límite hacia el que tiende la velocidad de la partícula cuando se deja pasar mucho tiempo ( $t\rightarrow\infty\!\,$ ) es:

$\vec{v}\,(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}\vec{v}(t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\,\frac{g}{\lambda}\left(1-e^{\displaystyle -\lambda\, t}\right)\,\vec{\imath}\,\,\right]=\displaystyle\frac{g}{\lambda}\,\,\vec{\imath}$

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