No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)
De Laplace
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1 Enunciado
El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante
y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje
; y un disco (sólido "2"), de centro
y radio
, que rota con velocidad angular constante
, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje
(punto
) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto
).
- ¿Cuánto vale la velocidad instantánea
?
- ¿Y la velocidad instantánea
?
- ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación
?
2 Velocidad instantánea del punto A en el movimiento {21}
Dado que la placa cuadrada se traslada con velocidad constante y el disco se mantiene siempre en contacto puntual con ella y con el eje
, es evidente que el centro
del disco realizará un movimiento rectilíneo y uniforme con esa misma velocidad:
![\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/5/7/5/57566062a8739b2c83f4065557fa1969.png)
Como también conocemos la velocidad angular del disco , podemos determinar la velocidad instantánea
aplicando la ecuación del campo de velocidades correspondiente:
![\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CA}=v_0\,\vec{\imath}\,+(-\,\omega\,\vec{k}\,)\times(-R\,\vec{\jmath}\,)=(v_0-\omega R\,)\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/9/8/c/98c4823b81eefe8dcb7c1e3f6ad73a94.png)
El hecho de que sea no nula (si
) significa que existe deslizamiento entre el disco y el eje
.
3 Velocidad instantánea del punto B en el movimiento {20}
Aplicando otra vez la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, podemos obtener la velocidad instantánea :
![\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}=v_0\,\vec{\imath}\,+(-\,\omega\,\vec{k}\,)\times(-R\,\vec{\imath}\,\,)=v_0\,\vec{\imath}\,+\,\omega R\,\vec{\jmath}](/wiki/images/math/1/5/f/15f08acf548cd9d21379680b2cc557b6.png)
Y aplicando la ley de composición de velocidades en el punto , determinamos la velocidad instantánea
:
![\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, B}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{20}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\, B}_{01}=\vec{v}^{\, B}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=(v_0\,\vec{\imath}\,\,+\,\,\omega R\,\vec{\jmath}\,)\,-\,v_0\,\vec{\imath}=\omega R\,\vec{\jmath}](/wiki/images/math/8/5/4/854c30780ecf9cac8f8b1158c10ca919.png)
El hecho de que no sea nula significa que existe deslizamiento entre el disco y la placa cuadrada.
4 Centro instantáneo de rotación del movimiento {20}
Para determinar la posición del centro instantáneo de rotación , podemos aplicar el procedimiento analítico.
La ley de composición de velocidades angulares nos permite calcular la velocidad angular del movimiento {20}:
![\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}\,+\,\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\,\underbrace{\vec{\omega}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\omega\,\vec{k}](/wiki/images/math/c/1/5/c15fd0d357ae2eb546d9564ba94cb106.png)
donde se ha tenido en cuenta que el movimiento {01} es una traslación y, por tanto, la velocidad angular es nula.
Entonces, la posición del centro instantáneo de rotación respecto al punto
se determina mediante la fórmula deducida en la teoría:
![\overrightarrow{BI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, B}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}\,|^{2}}=\frac{(-\,\omega\,\vec{k}\,)\times\omega R\,\vec{\jmath}}{\omega^2}=R\,\vec{\imath}](/wiki/images/math/d/b/3/db34fed8d9e3f9a37b99ff91592eb4b3.png)
Pero a una distancia a la derecha del punto
se encuentra el centro
del disco. Por tanto, concluimos que:
![I_{20}\equiv C](/wiki/images/math/3/e/d/3ed951bb4ff13b3a90cd13105331d4d0.png)
A la misma conclusión se llega calculando la velocidad del punto en el movimiento {20} mediante la ley de composición de velocidades:
![\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, C}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, C}_{21}-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0\,\vec{\imath}\,-\,v_0\,\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,I_{20}\equiv C](/wiki/images/math/f/8/d/f8d144583d2400b77b9b5484a8653a43.png)
En realidad, el centro del disco mantiene una posición constante respecto a la placa cuadrada y, por tanto, es un punto fijo o centro permanente de rotación en el movimiento {20}.