No Boletín - Péndulo simple (Ex.Ene/18)

De Laplace

1 Enunciado

Considérese un péndulo simple, constituido por una partícula $P\,$ (de masa $m\,$ ) que se halla suspendida de un punto fijo $O\,$ mediante un hilo inextensible (de longitud $L\,$ y masa despreciable). Bajo la acción de su propio peso, la partícula $P\,$ oscila en el plano vertical fijo $OXY\,$ (aceleración gravitatoria: $\vec{g}=g\,\vec{\imath}\,$ ). Se propone la coordenada acimutal $\theta\,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $P\,$ , así como la base polar $\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

De la segunda ley de Newton aplicada a la partícula $P\,$ y proyectada sobre la dirección acimutal, deduzca la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\theta(t)\,$ .
Y de la misma ley, pero proyectada sobre la dirección radial, deduzca el módulo de la tensión del hilo.
Deduzca una integral primera del movimiento de la partícula $P\,$ aplicando algún teorema de conservación.

2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y tensión del hilo

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (su peso $\,m\vec{g}\,$ ) y otra de reacción vincular (la tensión $\,\overrightarrow{T}\,$ ejercida por el hilo). La tensión $\,\overrightarrow{T}\,$ tiene la dirección del propio hilo (dirección radial) y su sentido es atractivo hacia el extremo fijo $O\,$ (vínculo unilateral). Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:

$\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=mg\,\vec{\imath}=mg\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \overrightarrow{T}=-T\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por: $\,\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}$ pero al particularizar para la trayectoria circular: $\,\,\rho=L\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\rho}=0\,$ , queda: $\vec{a}=-\,L\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\vec{u}_{\rho}+L\,\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}$

Planteamos la segunda ley de Newton: $m\vec{g}+\overrightarrow{T}=m\,\vec{a}$ y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{\begin{array}{l} mg\,\mathrm{cos}(\theta)-T=-\,m\,L\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ -mg\,\mathrm{sen}(\theta)=m\,L\,\ddot{\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array}\right.$

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta(t)$ :

$\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,L\,\ddot{\theta}+g\,\mathrm{sen}(\theta)=0$

El módulo $T\,$ de la tensión que ejerce el hilo sobre la partícula se obtiene despejando en la ecuación (1):

$\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,T=m\,[L\,\dot{\theta}^{\, 2}+g\,\mathrm{cos}(\theta)]$

3 Integral primera del movimiento: deducción y expresión

La tensión $\overrightarrow{T}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (trayectoria circular). Así que la única fuerza que trabaja sobre la partícula (su peso) es conservativa, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y su energía potencial $U\,$ ). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos permite deducir que $E\,$ es una integral primera del movimiento de la partícula:

$E=K+U=\mathrm{cte}\,$

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de $\,\theta\,$ y $\,\dot{\theta}$ .

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:

$\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}$

pero al particularizar para la trayectoria circular: $\,\,\rho=L\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,$ , queda: $\vec{v}=L\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K=\frac{1}{2}\,m\,v^{\, 2}=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^{\, 2}$

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es su energía potencial gravitatoria $U_g\,$ :

$U=U_g=mg(-x)\,=-mgL\,\mathrm{cos}(\theta)$

Obsérvese que la expresión propuesta para $U_g\,$ corresponde a tomar el origen de energía potencial en $\,x=0\,\,$ , siendo $(-x)\,$ la altura de la partícula respecto a dicho origen (nótese que el eje OX apunta hacia abajo).

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

$E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}\,mL^2\dot{\theta}^{\, 2}\!-mgL\,\mathrm{cos}(\theta)=\mathrm{cte}$

Desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función $\,\theta(t)$ :

$L\dot{\theta}^{\, 2}\!-2g\,\mathrm{cos}(\theta)=\mathrm{cte}$

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

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