No Boletín - Muelle en plano inclinado II (Ex.Ene/19)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Segunda ley de Newton (fuerza vincular y ecuación diferencial de segundo orden)
3 Integral primera del movimiento (ecuación diferencial de primer orden)
4 Posición de equilibrio

1 Enunciado

Una partícula $P\,$ , de masa $m\,$ , desliza sin rozamiento a lo largo de una rampa de inclinación $\theta\,$ respecto a la horizontal. Durante su movimiento, la partícula $P\,$ está sometida a la acción de su propio peso y es solicitada desde un punto fijo $O\,$ (ver figura) mediante un resorte elástico $OP\,$ de constante recuperadora $k\,$ y longitud natural $l_0\,$ . Se describe la posición de la partícula $P\,$ mediante su coordenada $x\,$ en la escuadra $OXY\,$ de la figura.

¿Cuánto vale la fuerza vincular $\vec{\Phi}\,$ que la rampa ejerce sobre la partícula $P\,$ ?
¿Qué ecuación diferencial satisface la función $x(t)\,$ que describe la posición de la partícula $P\,$ en cada instante?
¿Cuál es la posición de equilibrio de la partícula $P\,$ ?

2 Segunda ley de Newton (fuerza vincular y ecuación diferencial de segundo orden)

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan dos fuerzas de naturaleza activa (su peso $\,m\vec{g}\,$ y la fuerza elástica $\vec{F}_k\,$ que le ejerce el resorte) y una fuerza de reacción vincular (la fuerza $\,\vec{\Phi}\,$ que le ejerce la rampa). La fuerza $\,\vec{\Phi}\,$ tiene la dirección perpendicular a la superficie de la rampa (no hay rozamiento) y su sentido es hacia el exterior de la rampa (vínculo unilateral). Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base cartesiana propuesta son las siguientes:

$\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}-\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}\,\,] \\ \\ \vec{F}_k=-k(x-l_0)\,\vec{\imath} \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{\jmath} \end{array}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base cartesiana propuesta viene dada por: $\,\vec{a}=\ddot{x}\,\vec{\imath}$

Planteamos la segunda ley de Newton: $m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}$ y la proyectamos sobre la base cartesiana propuesta, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{\begin{array}{l} mg\,\mathrm{sen}(\theta)-k(x-l_0)=m\,\ddot{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ -mg\,\mathrm{cos}(\theta)+\Phi=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array}\right.$

El módulo $\Phi\,$ de la fuerza vincular se obtiene despejando en la ecuación (2):

$\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=mg\,\mathrm{cos}(\theta)$

Por tanto, la fuerza vincular que la rampa ejerce sobre la partícula viene dada por la expresión:

$\vec{\Phi}=mg\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}$

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,x(t)$ :

$\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{x}-mg\,\mathrm{sen}(\theta)+k(x-l_0)=0$

3 Integral primera del movimiento (ecuación diferencial de primer orden)

La fuerza vincular $\vec{\Phi}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y esclerónomo). Así que las dos fuerzas que trabajan sobre la partícula (su peso y la fuerza elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y sus energías potenciales gravitatoria $U_g\,$ y elástica $U_k\,$ ). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos permite deducir que $E\,$ es una integral primera del movimiento de la partícula:

$E=K+U_g+U_k=\mathrm{cte}\,$

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de $\,x\,$ y $\,\dot{x}$ .

La velocidad de la partícula expresada en la base cartesiana propuesta viene dada por:

$\vec{v}=\dot{x}\,\vec{\imath}$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K=\frac{1}{2}\,m\,v^{\, 2}=\frac{1}{2}m\,\dot{x}^{\, 2}$

Por otra parte, la energía potencial gravitatoria de la partícula es:

$U_g=mg[-x\,\mathrm{sen}(\theta)]\,=-mg\,\mathrm{sen}(\theta)\, x$

Obsérvese que la expresión propuesta para $U_g\,$ corresponde a tomar el origen de energía potencial gravitatoria en $\,x=0\,\,$ , siendo $[-x\,\mathrm{sen}(\theta)]\,$ la altura de la partícula respecto a dicho origen (nótese que el eje $OX\,$ apunta hacia abajo).

Por último, la energía potencial elástica de la partícula es:

$U_k=\frac{1}{2}k\,(x-l_0)^{\, 2}$

La suma de energía cinética y energía potencial total nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

$E(x,\dot{x})=K+U_g+U_k=\frac{1}{2}\,m\,\dot{x}^{\, 2}\!-mg\,\mathrm{sen}(\theta)\, x+\frac{1}{2}\,k\,(x-l_0)^{\, 2}=\mathrm{cte}$

Desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función $\,x(t)$ :

$\frac{1}{2}\,m\,\dot{x}^{\, 2}\!-mg\,\mathrm{sen}(\theta)\, x+\frac{1}{2}\,k\,(x-l_0)^{\, 2}=\mathrm{cte}$

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

Por tanto, ante la pregunta de cuál es la ecuación diferencial que debe satisfacer la función $x(t)\,$ , es igualmente correcto responder con la ecuación diferencial de segundo orden obtenida en el apartado anterior o con la ecuación diferencial de primer orden obtenida en el presente apartado.

4 Posición de equilibrio

La condición de equilibrio mecánico para una partícula consiste en la nulidad de la fuerza neta que actúa sobre ella: $m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=\vec{0}$ . Y proyectando esta ecuación vectorial sobre la dirección del eje $OX\,$ , se obtiene la siguiente ecuación escalar: