No Boletín - Movimiento en espiral descrito en polares II (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula recorre una espiral de Arquímedes, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho(t)=\rho_0+v_0\,t\,;\,\,\,\,\,\,\,\, \theta(t)=\omega_0\, t$

donde $\,\rho_0\,$ , $\,v_0\,$ y $\,\omega_0\,$ son constantes positivas conocidas.

Determine la aceleración de la partícula expresada en la base polar.
Calcule la aceleración tangencial de la partícula.

2 Aceleración en la base polar

La velocidad y la aceleración de la partícula en la base polar vienen dadas por la expresiones:

$\begin{array}{l} \vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{a}=\left(\ddot{\rho}-\rho\,{\dot{\theta}}^2\right)\,\vec{u}_{\rho}+\left(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta} \end{array}$

Por tanto, calculamos las derivadas primera y segunda respecto al tiempo de las ecuaciones horarias:

$\dot{\rho}=v_0$ ; $\ddot{\rho}=0$ ; $\dot{\theta}=\omega_0$ ; $\ddot{\theta}=0$

y, sustituyendo en las expresiones de arriba, obtenemos la velocidad de la partícula, su celeridad (que es el módulo de la velocidad) y su aceleración:

$\begin{array}{l} \vec{v} = v_0\,\vec{u}_{\rho}+\omega_0\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,\longrightarrow\,\, v=|\vec{v}\,|=\sqrt{v_0^2+\omega_0^2\,\rho^2} \\ \\ \vec{a}=-\,\omega_0^2\,\rho\,\vec{u}_{\rho}+2\,v_0\,\omega_0\,\vec{u}_{\theta} \end{array}$

3 Aceleración tangencial

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la celeridad:

$a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}=\displaystyle\frac{v_0\,\omega_0^2\,\rho}{\sqrt{v_0^2+\omega_0^2\,\rho^2}}$ ; $a_t=\dot{v}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\rho}\,\dot{\rho}=\displaystyle\frac{v_0\,\omega_0^2\,\rho}{\sqrt{v_0^2+\omega_0^2\,\rho^2}}$