No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)

De Laplace

1 Enunciado

El movimiento de una partícula en un plano $OXY\,$ (para $t>0\,$ ) viene dado en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho(t)=C_1\,t^{n}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=C_2\,t^{3/5}$

donde $C_1\,$ y $C_2\,$ son constantes conocidas. Sabiendo que la fuerza que actúa sobre la partícula es central con centro en el origen de coordenadas, ¿cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$ ?

2 Solución

Por ser la fuerza que actúa sobre la partícula una fuerza central con centro en el origen de coordenadas $O\,$ , el momento de dicha fuerza respecto al punto $O\,$ es nulo. Y entonces sabemos que se conservará constante a lo largo del tiempo el momento cinético de la partícula respecto al punto $O\,$ (teorema de conservación del momento cinético de una partícula).

Vamos, pues, a determinar primero dicho momento cinético $\vec{L}_O\,$ en función de los datos del ejercicio (entre ellos, el exponente $n\,$ ), y después deduciremos el valor del exponente $n\,$ exigiendo que $\vec{L}_O\,$ sea independiente del tiempo.

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

$\begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\end{array}$

en la definición del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas $O\,$ , se obtiene:

$\vec{L}_O=\vec{r}\times m\,\vec{v}=m\,\rho\,\vec{u}_{\rho}\times(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})=m\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}$

Y sustituyendo en esta expresión general las funciones concretas $\rho\,$ y $\dot{\theta}\,$ que se deducen de las ecuaciones horarias dadas en el enunciado, se llega a:

$\left.\begin{array}{l} \rho=C_1\,t^{n} \\ \theta=C_2\,t^{\frac{3}{5}} \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\displaystyle\frac{3}{5}C_2\,t^{-\frac{2}{5}} \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{L}_O=m\,C_1^{\, 2}t^{\,2n}\,\displaystyle\frac{3}{5}C_2\,t^{-\frac{2}{5}}\,\vec{k}=\displaystyle\frac{3}{5}m\,C_1^{\, 2}C_2\,t^{\,\left(2n-\frac{2}{5}\right)}\,\vec{k}$

Finalmente, la exigencia de que $\vec{L}_O\,$ sea independiente del tiempo nos lleva a forzar la nulidad del exponente con que aparece el tiempo en la expresión obtenida, y de ahí obtenemos el valor de $n\,$ :

$\vec{L}_O=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2n-\frac{2}{5}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, n=\frac{1}{5}$

No Boletín - Movimiento central en coordenadas polares (Ex.Dic/12)

De Laplace

1 Enunciado

2 Solución

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES