No Boletín - Identificación de lugar geométrico (Ex.Nov/16)

De Laplace

1 Enunciado

Sea $r\,$ la recta que pasa por el punto $P_1\,$ y es paralela al vector $\vec{u}\,$ , y sea $P_2\,$ un punto que no pertenece a $r\,$ .

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ que satisfacen la ecuación $\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,$ ?

2 Solución

Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector $\vec{N}\,$ y que pasa por el punto $Q\,$ viene dada por:

$\overrightarrow{QP}\cdot\vec{N}=0$

Pues bien, la ecuación que nos propone el enunciado del presente ejercicio se reduce a esta forma mediante una sencilla operación de resta:

$\overrightarrow{P_1P}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vec{u}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left(\overrightarrow{P_1P}-\overrightarrow{P_1P_2}\right)\cdot\vec{u}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\overrightarrow{P_2P}\cdot\vec{u}=0$

Por tanto, el lugar geométrico de los puntos $P\,$ que satisfacen dicha ecuación es el plano perpendicular a la recta $r\,$ y que pasa por el punto $P_2\,$ (nótese que $r\,$ es paralela a $\vec{u}\,$ ).

3 Solución alternativa

La ecuación vectorial de un plano perpendicular al vector $\vec{B}$ es de la forma general

$\overrightarrow{AP}\cdot \vec{B}=k$

siendo A un punto fijo y $k$ una constante. Tomando distintos valores de $k$ obtenemos planos paralelos.

En nuestro caso la ecuación tiene esta forma si tomamos $\vec{B}=\vec{u}$ . Es decir se trata de un plano perpendicular al vector $\vec{u}$ y por tanto a la recta $r$ .