No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación
3 Determinación de las tres reducciones cinemáticas en el punto C
4 Cálculo de las demás magnitudes cinemáticas solicitadas

1 Enunciado

El plano fijo $OX_1Y_1\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante $v_0\,$ ; y la manivela $OC\,$ (sólido "2") de longitud $L\,$ , que rota alrededor del eje fijo $OZ_1\,$ . Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo $C\,$ de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo $\theta\,$ definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{01}\,$ , $I_{21}\,$ e $I_{20}.\,$
Reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}\,$ , $\{20\}\,$ y $\{21\}\,$ en el punto $C.\,$
Determinación de la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{20}\,$ , las aceleraciones $\vec{a}^{\, O}_{20}\,$ y $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$ , y la aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}.\,$

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de $\,\theta\,$ , $L\,\,$ y/o $\,v_0\,$ , pero NO en función de $\,\dot{\theta}\,\,$ ni de $\,\ddot{\theta}.\,$

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La manivela $OC\,$ (sólido "2") se halla articulada en su extremo $O\,$ al origen de la escuadra fija $OX_1Y_1\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento $\{21\}\,$ :

$I_{21}\equiv O$

La guía horizontal ranurada (sólido "0") se traslada verticalmente respecto a la escuadra fija $OX_1Y_1\,$ (sólido "1"). En consecuencia, el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{01\}\,$ se halla en el infinito en la dirección horizontal (perpendicular a la dirección de traslación):

$I_{01}\rightarrow\infty\parallel OX_1\perp \vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}$

Dado que el extremo $C\,$ de la manivela (sólido "2") está obligado a deslizar a lo largo de la ranura de la guía horizontal (sólido "0"), la velocidad $\vec{v}^{\, C}_{20}\,$ tiene necesariamente dirección paralela al eje $OX_{1}\,$ . Pues bien, tal como puede verse en la figura adjunta, el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ se halla en el punto donde se cortan la recta perpendicular a $\vec{v}^{\, C}_{20}\,$ que pasa por $C\,$ y la recta que pasa por $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ (esta última coincide con el eje $OX_{1}\,$ y se debe al teorema de los tres centros).

3 Determinación de las tres reducciones cinemáticas en el punto C

La reducción cinemática del movimiento $\{01\}\,$ se deduce directamente del enunciado. Al ser $\{01\}\,$ una traslación, la velocidad angular $\vec{\omega}_{01}\,$ es nula, y la velocidad $\vec{v}^{\, C}_{01}\,$ es la velocidad de dicha traslación:

$\vec{\omega}_{01}=\vec{0}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=-v_0\,\vec{\jmath}_1$

De la reducción cinemática del movimiento $\{20\}\,$ , sabemos a priori la dirección de la velocidad angular $\vec{\omega}_{20}\,$ (perpendicular al plano director $OX_1Y_1\,$ , como corresponde a un movimiento plano de rotación) y la dirección de la velocidad $\vec{v}^{\, C}_{20}\,$ (horizontal como la guía, ya que el extremo $C\,$ de la manivela se encuentra confinado en la ranura de la guía):

$\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{20}=v^{C}_{20}\,\vec{\imath}_1$

En cuanto a la reducción cinemática del movimiento $\{21\}\,$ , también conocemos a priori la dirección de la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}\,$ (perpendicular al plano director $OX_1Y_1\,$ ), y podemos relacionar la velocidad $\vec{v}^{\, C}_{21}\,$ con $\vec{\omega}_{21}\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades $\{21\}\,$ y teniendo en cuenta que $I_{21}\equiv O\,$ (por tanto, $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ es nula):

$\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\,\times\, \overrightarrow{OC}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,\times\, L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]=\omega_{21}L\,[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,+\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]$

donde $\overrightarrow{OC}=L\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_1\,]\,$ se deduce por inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $OI_{20}C.\,$

Planteadas las tres reducciones cinemáticas en $C\,$ , se exige el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y de la ley de composición de velocidades, obteniéndose un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas:

$\left.\begin{array}{lcr} \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} & \longrightarrow & \omega_{21}=\omega_{20}\,\,\, \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01} & \longrightarrow & \left|\begin{array}{r} -\omega_{21}L\,\mathrm{sen}(\theta)=v^{C}_{20} \\ \\ \omega_{21}L\,\mathrm{cos}(\theta)=-v_0 \end{array}\right. \end{array}\right\}$

cuya solución es:

$\omega_{21}=\omega_{20}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v^{C}_{20}=v_0\,\mathrm{tg}(\theta)$

Y sustituyendo en las expresiones de las reducciones cinemáticas de los movimientos $\{20\}\,$ y $\{21\}\,$ , se obtiene:

$\vec{\omega}_{20}=-\displaystyle\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\mathrm{tg}(\theta)\,\vec{\imath}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{21}=-\displaystyle\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=v_0\,[\,\mathrm{tg}(\theta)\,\vec{\imath}_1-\,\vec{\jmath}_1]$

4 Cálculo de las demás magnitudes cinemáticas solicitadas

La velocidad $\vec{v}^{\, O}_{20}\,$ se puede deducir aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $O\,$ :

$\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01} \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{v}^{\, O}_{20}=-\,\vec{v}^{\, O}_{01}=-\,\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}=v_0\,\vec{\jmath}_1$

La aceleración $\vec{a}^{\, O}_{20}\,$ se puede deducir aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto $O\,$ :

$\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}=\vec{a}^{\, O}_{20}+ \underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,2\underbrace{\vec{\omega}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\vec{v}^{\, O}_{20} \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, \vec{a}^{\, O}_{20}=\vec{0}$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{21\}\,$ (por eso $\vec{a}^{\, O}_{21}\,$ es nula), y que la traslación $\{01\}\,$ es de velocidad constante (por eso $\vec{a}^{\, O}_{01}\,$ es nula).

La aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}\,$ se puede obtener a partir de su definición:

$\vec{\alpha}_{21}=\left.\displaystyle\frac{\mbox{d}\,\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1= -\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta)}{L\,\mathrm{cos}^2(\theta)}\,\dot{\theta}\,\vec{k}_1$

Pero el enunciado del problema nos dice que $\dot{\theta}\,$ no debe aparecer en los resultados finales. Así que, teniendo en cuenta la definición del ángulo $\theta\,$ , relacionaremos $\dot{\theta}\,$ con la velocidad angular del movimiento $\{21\}\,$ (ya determinada en el apartado anterior):

$\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1=\dot{\theta}\,\vec{k}_1 \,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\dot{\theta}= \omega_{21}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}$

Y sustituyendo esta expresión de $\dot{\theta}\,$ , completamos la determinación de la aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}\,$ :

$\vec{\alpha}_{21}= -\frac{v_0\,\mathrm{sen}(\theta)}{L\,\mathrm{cos}^2(\theta)}\left[-\frac{v_0}{L\,\mathrm{cos}(\theta)}\right] \vec{k}_1=\displaystyle\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}(\theta)}{L^2\,\mathrm{cos}^3(\theta)}\,\vec{k}_1$

Por último, la aceleración $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$ se puede obtener a partir de $\vec{a}^{\, O}_{21}\,$ , $\vec{\alpha}_{21}\,$ y $\vec{\omega}_{21}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento $\{21\}\,$ :

$\vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{=\,\vec{0}}\,+\,\,\vec{\alpha}_{21}\,\times\,\overrightarrow{OC}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{OC}=-\displaystyle\frac{v_0^2}{L\,\mathrm{cos}^3(\theta)}\,\vec{\imath}_1$

No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)

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1 Enunciado

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

3 Determinación de las tres reducciones cinemáticas en el punto C

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