No Boletín - Fuerza neta sobre un vehículo en una curva (Ex.Sep/15)

De Laplace

1 Enunciado

Un vehículo (masa $m\,$ ) está saliendo de una curva, y su celeridad ( $v=|\vec{v}\,|\,$ ) está aumentando. ¿Cuál de los siguientes diagramas representa correctamente la dirección y el sentido de la fuerza neta ( $\vec{F}\,$ ) que actúa sobre dicho vehículo?

2 Solución

Modelando el vehículo como una partícula de masa inercial constante $\,m,\,$ podemos asegurar que la fuerza neta $\,\vec{F}\,$ que actúa sobre el mismo es un vector con la misma dirección y el mismo sentido que su vector aceleración $\,\vec{a},\,$ ya que la segunda ley de Newton establece que:

$\vec{F}=m\,\vec{a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(con}\,\,\,m>0\mathrm{)}$

Pero el hecho de que $\,\vec{F}\,$ y $\,\vec{a}\,$ compartan la misma dirección y el mismo sentido reduce este ejercicio a una cuestión puramente cinemática: ¿qué sabemos sobre la orientación del vector $\,\vec{a}\,$ de un vehículo que describe una trayectoria curva y cuya celeridad está creciendo?

Pues bien, sabemos que la aceleración tangencial ( $\,a_t\,$ ) y la aceleración normal ( $\,a_n\,$ ) de tal vehículo son ambas estrictamente positivas:

$\left\{\begin{array}{ll} a_t>0 & \,\,\, \mathrm{(porque}\,\,a_t=\dot{v}\,\,\mathrm{y}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{celeridad}\,\,v\,\,\mathrm{crece)} \\ \\ a_n>0 & \,\,\, \mathrm{(porque}\,\,a_n=v^2/R_{\kappa}\,\mathrm{,}\,\,v\neq 0\,\,\,\mathrm{y}\,\,R_{\kappa}\neq\infty\,\mathrm{)} \end{array}\right.$

Para que el conocimiento de los signos de $\,a_t\,$ y $\,a_n\,$ permita predecir la orientación correcta del vector $\,\vec{a}\,$ , es necesario determinar antes el vector tangente unitario $\,\vec{T}\,$ y el vector normal principal $\,\vec{N}\,$ . En los diagramas propuestos, obtenemos $\,\vec{T}\,$ normalizando el vector velocidad $\,\vec{v}\,$ del vehículo, y $\,\vec{N}\,$ trazando el unitario que apunta desde el vehículo hacia el centro de curvatura (representado por una pequeña aspa):

Que las componentes tangencial y normal de la aceleración del vehículo sean ambas estrictamente positivas ( $a_t>0\,$ y $a_n>0\,$ ) requiere que el vector aceleración $\,\vec{a}\,$ forme simultáneamente ángulos agudos con el vector tangente unitario $\,\vec{T}\,$ y con el vector normal principal $\,\vec{N}.\,$

Analizando con este criterio los cuatro casos propuestos, llegamos a la conclusión de que el diagrama (1) es el correcto:

Diagrama	Ángulo entre $\,\vec{a}\,$ y $\,\vec{T}$	Ángulo entre $\,\vec{a}\,$ y $\,\vec{N}$
(1)	agudo ( $a t > 0$ )	agudo ( $a n > 0$ )	Correcto
(2)	obtuso ( $a t < 0$ )	agudo ( $a n > 0$ )	Incorrecto
(3)	agudo ( $a t > 0$ )	obtuso ( $a n < 0$ )	Incorrecto
(4)	nulo ( $a t > 0$ )	recto ( $a n = 0$ )	Incorrecto

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