No Boletín - Ejemplo de campo de velocidades de un sólido II (Ex.Ene/20)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):

$\vec{v}=(2-y)\,\vec{\imath}+(1+x+z)\,\vec{\jmath}-y\,\vec{k}$

donde $(x,y,z)\,$ son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.

Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?

2 Verificación de la equiproyectividad

Sean dos puntos arbitrarios $A\,(x_A,y_A,z_A)\,\,$ y $\,B\,(x_B,y_B,z_B)\,\,$ . Sus velocidades $\vec{v}_A\,\,$ y $\,\vec{v}_B\,$ se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:

$\vec{v}_A=(2\,-\,y_A)\,\vec{\imath}\,+\,(1\,+\,x_A\,+\,z_A)\,\vec{\jmath}\,-\,y_A\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}_B=(2\,-\,y_B)\,\vec{\imath}\,+\,(1\,+\,x_B\,+\,z_B)\,\vec{\jmath}\,-\,y_B\,\vec{k}$

La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:

$\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\vec{v}_B-\vec{v}_A)\cdot\overrightarrow{AB}=0$

Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:

$\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=\underbrace{(x_B-x_A)}_{\displaystyle=\Delta x}\,\vec{\imath}\,+\underbrace{(y_B-y_A)}_{\displaystyle=\Delta y}\,\vec{\jmath}\,+\underbrace{(z_B-z_A)}_{\displaystyle=\Delta z}\,\vec{k}=\Delta x\,\vec{\imath}\,+\Delta y\,\vec{\jmath}\,+\Delta z\,\vec{k} \\ \\ \vec{v}_B-\vec{v}_A=-\Delta y\,\,\vec{\imath}\,+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}\,-\Delta y\,\vec{k} \end{array}$

En efecto, se verifica la equiproyectividad porque:

$(\vec{v}_B-\vec{v}_A)\cdot\overrightarrow{AB}=-\Delta y\,\Delta x\,+(\Delta x+\Delta z)\,\Delta y\,-\Delta y\,\Delta z=0$

3 Velocidad angular

Obtendremos la velocidad angular instantánea $\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,$ exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:

$\vec{v}_B=\vec{v}_A\,+\,\,\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}_B\,-\,\,\vec{v}_A=\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB} \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -\,\Delta y\,\,\vec{\imath}\,\,+\,(\Delta x\,\,+\,\,\Delta z)\,\vec{\jmath}\,\,-\,\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{array}\right|$

Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{rcl} -\Delta y & = & \omega_y\,\Delta z-\omega_z\,\Delta y \\ \Delta x+\Delta z & = & \omega_z\,\Delta x-\omega_x\,\Delta z \\ -\Delta y & = & \omega_x\,\Delta y-\omega_y\,\Delta x \end{array}\right.\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{rcl} (-1+\omega_z)\,\Delta y-\omega_y\,\Delta z & = & 0 \\ (1-\omega_z)\,\Delta x+(1+\omega_x)\,\Delta z & = & 0 \\ \omega_y\,\Delta x-(1+\omega_x)\,\Delta y & = & 0 \end{array}\right.$

Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de $\Delta x\,$ , $\Delta y\,\,$ y $\,\Delta z\,$ (ya que los puntos $A\,\,$ y $\,B\,$ son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de $\Delta x\,$ , $\Delta y\,\,$ y $\,\Delta z\,$ en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que:

$\left.\begin{array}{l} \omega_x=-1 \\ \omega_y=0 \\ \omega_z=1 \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=(-\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}$

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