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No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). El disco "2", de radio R\,, rota con velocidad angular constante 2\,\omega\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo B\,. El disco "3", de radio 2R\,, rota con velocidad angular constante 2\,\omega\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo E\,. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo OX_1Y_1\, al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

  1. ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
  2. ¿Cómo se clasifica el movimiento \{23\}\,?
  3. ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación I_{42}\,?
  4. ¿Cuánto vale la aceleración del punto C\, de contacto entre ambos discos en el movimiento \{32\}\,?

2 Velocidades de traslación de las barras

Los movimientos absolutos de los discos (movimientos \{21\}\, y \{31\}\,) se describen en el enunciado como sendas rotaciones alrededor de centros fijos, deduciéndose trivialmente que sus reducciones cinemáticas son:

\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{0} \\ \\ \vec{\omega}_{31}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{31}=\vec{0} \end{array}

Se nos dice que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0". Esta ausencia de deslizamiento en el movimiento relativo \{20\}\, conlleva que el punto de contacto entre ambos sólidos (punto A\,) tiene velocidad relativa \{20\}\, nula:

\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0}

También se nos dice que el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4". Esta ausencia de deslizamiento en el movimiento relativo \{34\}\, conlleva que el punto de contacto entre ambos sólidos (punto G\,) tiene velocidad relativa \{34\}\, nula:

\vec{v}^{\, G}_{34}=\vec{0}

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en dichos puntos de contacto, se obtiene que:

\begin{array}{lll} \vec{v}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,+\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{01}} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{01}=\vec{v}^{\, A}_{21} \\ \\ \vec{v}^{\, G}_{31}=\underbrace{\vec{v}^{\, G}_{34}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,+\underbrace{\vec{v}^{\, G}_{41}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}=\vec{v}^{\, G}_{31} \end{array}

donde se ha tenido en cuenta que los campos de velocidades de los movimientos absolutos de las barras (movimientos \{01\}\, y \{41\}\,) son uniformes (se trata de sendas traslaciones verticales según nos indica el enunciado).

Por tanto, las velocidades de traslación de ambas barras se pueden determinar fácilmente a partir de las igualdades deducidas y aplicando las ecuaciones de los campos de velocidades \{21\}\, y \{31\}\,, respectivamente:

\begin{array}{lll} \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{01}=\vec{v}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times(-R\,\vec{\imath}_1)=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}=\vec{v}^{\, G}_{31}=\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{31}\times\overrightarrow{EG}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times 2R\,\vec{\imath}_1=-4\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \end{array}

3 Clasificación del movimiento {23}

Aplicando la ley de composición de velocidades angulares, se deduce la nulidad de \vec{\omega}_{23}\,:

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{23}+\vec{\omega}_{31}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{23}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{31}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1-(-2\;\!\omega\,\vec{k}_1)=\vec{0}

Por tanto, el campo de velocidades \{23\}\, es uniforme. Calculamos ahora el valor de dicho campo determinando la velocidad \{23\}\, de un punto cualquiera, por ejemplo, del punto E\, (utilizamos para ello la ley de composición de velocidades y la ecuación del campo de velocidades \{21\}\,):

\vec{v}^{\, E}_{21}=\vec{v}^{\, E}_{23}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{23}=\vec{v}^{\, E}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\,\times\,\overrightarrow{BE}=-2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,\times\, 3R\,\vec{\imath}_1=-6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1

Una vez comprobado que el campo de velocidades \{23\}\, es uniforme y no nulo, podemos clasificar el movimiento \{23\}\, como una TRASLACIÓN de velocidad \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=-6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \,.

4 Centro instantáneo de rotación del movimiento {42}

Determinaremos la posición del centro instantáneo de rotación I_{42}\, aplicando el procedimiento analítico, es decir, calcularemos la reducción cinemática del movimiento \{42\}\, en algún punto (por ejemplo, el punto B\,) y después utilizaremos la fórmula deducida en la teoría para determinar la posición de I_{42}\, respecto a dicho punto.

Así pues, calculamos en primer lugar la reducción cinemática del movimiento \{42\}\, en el punto B\, (aplicando para ello la ley de composición de velocidades angulares y la ley de composición de velocidades):

\begin{array}{lll} \vec{\omega}_{41}=\vec{\omega}_{42}+\vec{\omega}_{21} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{\omega}_{42}=\underbrace{\vec{\omega}_{41}}_{\displaystyle =\vec{0}}-\,\,\vec{\omega}_{21}=2\;\!\omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, B}_{41}=\vec{v}^{\, B}_{42}+\vec{v}^{\, B}_{21} & \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}^{\, B}_{42}=\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{41}}_{\displaystyle =\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{41}}\!\!-\,\,\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}=-4\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \end{array}

donde se ha tenido en cuenta que la velocidad angular \vec{\omega}_{41}\, es nula por ser el movimiento \{41\}\, una traslación.

Y a continuación aplicamos la fórmula que nos da la posición de I_{42}\, respecto al punto B\,:

\overrightarrow{BI_{42}}=\frac{\vec{\omega}_{42}\times\vec{v}^{\, B}_{42}}{|\,\vec{\omega}_{42}|^{\, 2}}=\frac{2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times (-4\,\omega R\,\vec{\jmath}_1)}{4\;\!\omega^{\, 2}}=2\;\!R\,\vec{\imath}_1

Por tanto, a la vista de este resultado y tras inspeccionar la figura del enunciado, llegamos a la conclusión de que el centro instantáneo de rotación del movimiento \{42\}\, coincide con el punto D\,:

I_{42}\equiv D

5 Aceleración {32} del punto C de contacto entre ambos discos

Aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto C\, y despejando \vec{a}^{\, C}_{32}\,, se obtiene:

\vec{a}^{\, C}_{31}=\vec{a}^{\, C}_{32}+\vec{a}^{\, C}_{21}+2\,\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{32}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, C}_{32}=\vec{a}^{\, C}_{31}-\,\vec{a}^{\, C}_{21}-2\,\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{32}

A continuación, calculamos los tres términos que necesitamos para determinar \vec{a}^{\, C}_{32}\,:

\begin{array}{l} \vec{a}^{\, C}_{31}=\underbrace{\vec{a}^{\, E}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{31}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\,\overrightarrow{EC}-|\;\!\vec{\omega}_{31}|^2\overrightarrow{EC}=-(2\;\!\omega)^2(-2\;\!R\,\vec{\imath}_1)=8\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\,\overrightarrow{BC}-|\;\!\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BC}=-(2\;\!\omega)^2 R\,\vec{\imath}_1=-\;\!4\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 \\ \\ 2\,\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{32}=2\,(-2\;\!\omega\,\vec{k}_1)\times 6\;\!\omega\;\! R\,\vec{\jmath}_1=24\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1 \end{array}

donde se ha tenido presente que E\, es un punto fijo en el movimiento \{31\}\, (por eso \vec{a}^{\, E}_{31}\, es nula), que B\, es un punto fijo en el movimiento \{21\}\, (por eso \vec{a}^{\, B}_{21}\, es nula), que las velocidades angulares \vec{\omega}_{31}\, y \vec{\omega}_{21}\, son constantes (por eso \vec{\alpha}_{31}\, y \vec{\alpha}_{21}\, son nulas), y que las velocidades recíprocas son opuestas (por eso \vec{v}^{\, C}_{32}=-\;\!\vec{v}^{\, C}_{23}=-\;\!\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1\,).

Sustituyendo el valor de los tres términos en la expresión de \vec{a}^{\, C}_{32}\, deducida arriba, se obtiene:

\vec{a}^{\, C}_{32}=8\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1-(-\;\!4\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1)-24\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1=-12\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1

6 Procedimiento alternativo para determinar la aceleración {32} del punto C

Según se comprobó anteriormente, el movimiento \{23\}\, es una traslación permanente de velocidad \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=-\;\!6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \,. Por consiguiente, su movimiento recíproco \{32\}\, es otra traslación permanente de velocidad \vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}=-\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{23}=6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1 \,.

Ahora bien, el campo de aceleraciones de una traslación permanente es uniforme (esto se debe a que el campo de velocidades de una traslación permanente es uniforme en todo instante). Así que llegamos a la conclusión de que todos los puntos tienen la misma aceleración en el movimiento \{32\}\,, y además esta aceleración puede calcularse a partir de su propia definición, es decir, derivando respecto al tiempo la velocidad de traslación del movimiento \{32\}\,:

\vec{a}^{\, C}_{32}=\vec{a}^{\, \mathrm{tras}}_{32}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\;\!\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}}{\mathrm{d}\;\!t}\right|_2=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}\;\!\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}}{\mathrm{d}\;\!t}\right|_1\,\,}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{12}\times\,\vec{v}^{\, \mathrm{tras}}_{32}=2\;\!\omega\,\vec{k}_1\times\, 6\,\omega R\,\vec{\jmath}_1=-12\,\omega^2R\,\;\!\vec{\imath}_1

donde se ha aplicado la fórmula de Poisson para la derivación, y se ha tenido en cuenta que las velocidades angulares recíprocas son opuestas (por eso \vec{\omega}_{12}=-\;\!\vec{\omega}_{21}=2\;\!\omega\,\vec{k}_1\,).

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Dos_discos_y_dos_barras_(Ex.Ene/19)"

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