No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

De Laplace

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo $OXY\,$ (sólido "1"), está constituido por un disco de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$ , y por otro disco de centro $B\,$ y radio $r\,$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? $\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}$
¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,\,$ ? $\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F$

2 Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje $OX\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{01}\equiv D$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $D\,$ , se obtiene:

$\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje $OY\,$ de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

$I_{21}\equiv E$

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $E\,$ , se obtiene:

$\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}$

resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto $C\,\,$ ), siendo $\vec{v}^{\, C}_{20}\,$ la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que $\vec{v}^{\, C}_{20}\,$ es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ y $C\,$ no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque $C\,$ no está alineado con $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ ). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:

$\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0$

resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que $\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,$ y que $\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,$ , llegamos a la conclusión de que:

$|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}$

resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, es la que hay que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a $\vec{v}^{\, C}_{20}\,$ en el punto $C\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{20}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.\begin{array}{r} \vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F$

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) $\,\,\,I_{20}\equiv F\,$ .

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