No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)
De Laplace
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1 Enunciado
El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio , que rueda sin deslizar (punto ) sobre el eje horizontal de la escuadra fija (sólido "1"), y cuyo centro avanza con velocidad constante ; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto ) sobre el citado disco, mientras que su extremo está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación .
Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo de la figura. Se pide:
- Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación , e .
- Reducción cinemática del movimiento en el punto , es decir, .
- Reducción cinemática del movimiento en el punto , es decir, .
- Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación , es decir,.
Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de , y/o , pero NO en función de .
2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación
Sabemos que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje horizontal de la escuadra fija (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento coincide con el punto de contacto disco-eje (punto ):
También sabemos que la varilla (sólido "0") rueda sin deslizar sobre el disco (sólido "2"). Esta otra ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento coincide con el punto de contacto varilla-disco (punto ):
En cuanto al movimiento , se nos indica que el extremo de la varilla está obligado a recorrer una guía horizontal fija (paralela al eje ), lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad es necesariamente horizontal. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto y trazando la recta que pasa por los puntos e (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto en la intersección de ambas rectas:
3 Reducción cinemática (en B) del movimiento {21}
El vector velocidad angular (de dirección perpendicular al plano director ) se determina relacionando, mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento , las velocidades (conocidas) del punto y del punto :
Y utilizando de nuevo la ecuación del campo de velocidades del movimiento , obtenemos la velocidad a partir de la velocidad (también podría calcularse a partir de ):
Finalmente, sustituyendo en la expresión obtenida para , se llega a:
4 Reducción cinemática (en A) del movimiento {01}
Una vez conocida , y teniendo en cuenta que (ya que ), la ley de composición de velocidades permite determinar la velocidad :
Por otra parte, y tal como se explicó en el primer apartado, sabemos a priori que la dirección de la velocidad es necesariamente horizontal, es decir, .
Entonces, los vectores (de dirección perpendicular al plano director ) y se podrán determinar exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades del movimiento para los puntos y :
Pero antes debemos calcular el último término de esta ecuación:
donde la expresión del vector en función de se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo , y donde además se ha tenido en cuenta que .
Volviendo a la ecuación del campo de velocidades del movimiento , e igualando componente a componente los dos miembros de dicha ecuación vectorial, se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas y :
Resolviendo este sistema de ecuaciones, y sustituyendo el valor de las incógnitas en las correspondientes expresiones vectoriales, se obtiene:
5 Determinación analítica del C.I.R.{01}
La posición del centro instantáneo de rotación respecto al punto se determina mediante la fórmula: