No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Reducciones cinemáticas en el punto O
3 Posiciones de los tres centros instantáneos de rotación
4 Aceleraciones de dos puntos del disco

1 Enunciado

El plano vertical fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio $R\,$ (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El disco "2" rueda y desliza sobre el eje $OX_{1}\,$ de tal modo que su centro $C\,$ avanza con velocidad constante en el tiempo $\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,$ (siendo $v\,$ una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto $A\,$ de contacto entre el disco y el eje $OX_{1}\,$ tiene velocidad instantánea $\vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,$ . Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro $C\,$ del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo $\theta\,$ que forma la varilla con respecto al eje $OX_{1}\,$ . Determine:

Todas las reducciones cinemáticas en el punto $O\,$ , es decir: $\{\vec{\omega}_{21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}\,$ , $\{\vec{\omega}_{20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}\,$ y $\,\{\vec{\omega}_{01};\,\vec{v}^{\, O}_{01}\}\,$ .
Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: $I_{21}\,$ (analíticamente), $I_{20}\,$ e $I_{01}\,$ (gráficamente).
Las aceleraciones $\vec{a}^{A}_{21}\,$ y $\vec{a}^{I_{21}}_{21}\,$ .

Nota: Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes $CX_{0}Y_0\,$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje $CX_{0}\,$ es colineal con ella.

2 Reducciones cinemáticas en el punto O

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:

$\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1=\omega_{21}\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1=\omega_{20}\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_0$

En el movimiento {21}, conocemos las velocidades (datos) del punto $C\,$ y del punto $A\,$ . Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.\begin{array}{l} \vec{v}^{\, C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1 \\ \vec{v}^{A}_{21}=2\, v\,\vec{\imath}_1 \end{array}\right\} \,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{A}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}\,\,\Rightarrow\,\, v\,\vec{\imath}_1=2\, v\,\vec{\imath}_1+\,\omega_{21}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\jmath}_1\,\,\Rightarrow\,\, v=2\, v\, -\,\omega_{21}R \,\,\Rightarrow\,\,\omega_{21}=\frac{v}{R}$

Por tanto:

$\vec{\omega}_{21}=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{k}_0$

Conocido el valor de $\vec{\omega}_{21}\,$ , la propia ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} permite obtener la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ a partir de la velocidad $\vec{v}^{\, C}_{21}\,$ (también podría calcularse a partir de $\vec{v}^{A}_{21}\,$ ):

$\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{CO}= v\,\vec{\imath}_1+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{k}_0\times\left[-\displaystyle\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_0\right]= v\,\vec{\imath}_1-\displaystyle\frac{v}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_0$

donde la expresión del vector $\overrightarrow{CO}\,$ en función de $\theta\,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $OAC\,$ .

Finalmente, sustituyendo $\vec{\imath}_1=\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,$ en la expresión obtenida para $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ , se llega a:

$\vec{v}^{\, O}_{21}=v\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]\vec{\jmath}_0$

Por otra parte, el hecho de que la varilla (sólido "0") se halle articulada en su extremo $C\,$ al centro del disco (sólido "2") implica que dicho punto $C\,$ es un punto fijo en el movimiento {20} (por tanto, $\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{0}\,$ ), y esto nos permite relacionar la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{20}\,$ y la velocidad angular $\vec{\omega}_{20}\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:

$\vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}=\vec{0}+\omega_{20}\,\vec{k}_0\times \left[-\displaystyle\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{\omega_{20} R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{\jmath}_0$

En cuanto al movimiento {01}, se nos indica que la varilla está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ , lo cual nos permite saber que la dirección de la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{01}\,$ coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla:

$\vec{v}^{\, O}_{01}=v^{O}_{01}\,\vec{\imath}_0$

A continuación, exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades para el punto $O\,$ , se resuelven las incógnitas $\omega_{20}\,$ y $v^{\, O}_{01}\,$ :

$\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\, O}_{01}\,\,\longrightarrow\,\, \left\{\begin{array}{l} v\,\mathrm{cos}(\theta)=v^{\, O}_{01} \,\,\Rightarrow\,\, \vec{v}^{\, O}_{01}=v\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0 \\ \\ -v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]=-\displaystyle\frac{\omega_{20} R}{\mathrm{sen}(\theta)}\,\,\Rightarrow\,\,\omega_{20}=\displaystyle\frac{v}{R}\left[1+\mathrm{sen}^2(\theta)\right]\,\,\Rightarrow\,\,\vec{\omega}_{20}=\displaystyle\frac{v}{R}\left[1+\mathrm{sen}^2(\theta)\right]\vec{k}_0 \end{array}\right.$

Y sustituyendo el valor de $\omega_{20}\,$ en la expresión de $\vec{v}^{\, O}_{20}\,$ antes deducida:

$\vec{v}^{\, O}_{20}=-v\left[\mathrm{sen}(\theta)+\displaystyle\frac{1}{\mathrm{sen}(\theta)}\right]\vec{\jmath}_0$

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\longrightarrow\,\, \vec{\omega}_{01}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{20}\,\,\Rightarrow\,\, \vec{\omega}_{01}=-\displaystyle\frac{v}{R}\,\mathrm{sen}^2(\theta)\,\vec{k}_0$

3 Posiciones de los tres centros instantáneos de rotación

La posición del centro instantáneo de rotación del movimiento {21} se determina analíticamente mediante la fórmula:

$\overrightarrow{CI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, C}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=\frac{\vec{k}_{1}\times\vec{v}^{\, C}_{21}}{\omega_{21}}=\frac{\vec{k}_{1}\times v\,\vec{\imath}_1}{v/R}=R\,\vec{\jmath}_1$

Así pues, el punto $I_{21}\,$ coincide con el punto del disco diametralmente opuesto al punto $A\,$ (ver figura adjunta).

Por otra parte, ya hemos comentado en el apartado anterior que el hecho de hallarse el extremo $C\,$ de la varilla (sólido "0") articulado al centro del disco (sólido "2") convierte a dicho punto $C\,$ en un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

$I_{20}\equiv C$

También hemos señalado anteriormente que la obligación de la varilla de deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ nos permite saber que la dirección de la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{01}\,$ coincide necesariamente con la propia dirección longitudinal de la varilla. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $O\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $I_{21}\,$ e $I_{20}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $I_{01}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\mathrm{(ver}\,\, I_{01}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{figura}\,\,\mathrm{adjunta)}$

4 Aceleraciones de dos puntos del disco

Deducimos la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{21}\,$ relacionándola con la aceleración $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

$\vec{a}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}- |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CA}=-\displaystyle\frac{v^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath}_1)=\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\jmath}_1$

donde se ha tenido en cuenta que $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$ es nula por ser $\vec{v}^{\, C}_{21}\,$ constante en el tiempo, y $\vec{\alpha}_{21}\,$ es nula por ser $\vec{\omega}_{21}\,$ constante en el tiempo.

Análogamente, se determina la aceleración $\vec{a}^{I_{21}}_{21}\,$ :

$\vec{a}^{I_{21}}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{=\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CI_{21}}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CI_{21}}=-\displaystyle\frac{v^2}{R^2}(R\,\vec{\jmath}_1)= -\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\jmath}_1$

No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)

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1 Enunciado

2 Reducciones cinemáticas en el punto O

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