No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 C.I.R.{21}: localización aproximada mediante el teorema de los tres centros
3 C.I.R.{21}: localización exacta mediante determinación analítica
4 Aceleración instantánea del punto A en el movimiento {21}
5 ¿En qué caso particular {21} es una traslación?

1 Enunciado

Un disco de radio $R\,$ (sólido "2"), contenido en el plano $OX_0Y_0\,$ , rueda sin deslizar sobre el eje $OX_0\,$ (sólido "0"), de tal modo que su centro $C\,$ avanza con velocidad relativa constante $\vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_{0}\,$ . Al mismo tiempo, la escuadra $OX_0Y_0\,$ (sólido "0"), articulada en su punto $O\,$ al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria $OX_1Y_1\,$ (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante $\vec{\omega}_{01}=\omega_{0}\,\vec{k}_1\,$ alrededor del eje fijo $OZ_1\,$ . La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante $t=t^{*}\,$ .

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$ ?
Determine la aceleración instantánea $\vec{a}^{A}_{21}\,$ (ver $A\,$ en figura).
¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

2 C.I.R.{21}: localización aproximada mediante el teorema de los tres centros

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje $OX_0\,$ (sólido "0"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto disco-eje:

$I_{20}\equiv A$

La escuadra $OX_0Y_0\,$ (sólido "0") está articulada en su punto $O\,$ al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria $OX_1Y_1\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:

$I_{01}\equiv O$

Entonces, aplicando el teorema de los tres centros, podemos asegurar que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} ha de estar en la recta que pasa por los puntos $O\,$ y $A\,$ , es decir, ha de estar en el eje $OX_0\,$ .

NOTA: Este problema se planteó en examen como ejercicio tipo test, y la respuesta correcta al presente apartado era la que afirmaba que el C.I.R.{21} se halla en el eje $OX_0\,$ . No obstante, completaremos a continuación esta solución determinando la localización exacta del C.I.R.{21}. Para ello, necesitamos calcular previamente la reducción cinemática del movimiento {21} en algún punto, por ejemplo en el punto $O\,$ . Pero la reducción cinemática de {21} en $O\,$ se puede determinar fácilmente mediante las leyes de composición si antes hallamos las reducciones cinemáticas de {01} y {20} en dicho punto.

3 C.I.R.{21}: localización exacta mediante determinación analítica

La reducción cinemática de {01} en $O\,$ ya se conoce:

$\vec{\omega}_{01}=\omega_0\,\vec{k}_1=\omega_0\,\vec{k}_0\,$ ; $\vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0}$

Hallemos ahora la reducción cinemática de {20} en $O\,$ . Al tratarse de un movimiento plano, la velocidad angular es perpendicular al plano director:

$\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_0$

En el movimiento {20}, conocemos la velocidad (dato) del punto $C\,$ y la velocidad (nula) del punto $A\equiv I_{20}\,$ . Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

$\left.\begin{array}{l} \vec{v}^{A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{A}_{20}+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, v_0\,\vec{\imath}_0=\omega_{20}\,\vec{k}_0\times R\,\vec{\jmath}_0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_0=-\omega_{20}R \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_{20}=-\frac{v_0}{R}$

Por tanto:

$\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0$

Ya podemos calcular la velocidad del punto $O\,$ en el movimiento {20} mediante la ecuación del campo de velocidades de dicho movimiento:

$\vec{v}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{A}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO}=\left(-\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0\right)\times(-v_0t^{*}\,\vec{\imath}_0)=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0$

Así que ahora tenemos también la reducción cinemática de {20} en $O\,$ :

$\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0\,$ ; $\vec{v}^{\, O}_{20}=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0$

Y aplicando las leyes de composición, determinamos finalmente la reducción cinemática de {21} en $O\,$ :

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\left(\omega_0-\frac{v_0}{R}\right)\vec{k}_0\,$ ; $\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0$

La posición exacta del C.I.R.{21} se obtiene con la fórmula habitual:

$\overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\frac{v_0^2t^{*}}{(v_0-\omega_0 R)}\,\vec{\imath}_0$

4 Aceleración instantánea del punto A en el movimiento {21}

Aplicando la ley de composición de aceleraciones (o teorema de Coriolis), la aceleración absoluta del punto $A\,$ se puede calcular como suma de las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis de dicho punto:

$\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}$

Observamos en primer lugar que el término de Coriolis se anula al ser $A\,$ el C.I.R.{20}.

La aceleración relativa de $A\,$ la podemos determinar a partir de la aceleración relativa del centro $C\,$ del disco utilizando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {20}:

$\vec{a}^{\, A}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\overrightarrow{CA}-|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}\,\overrightarrow{CA}=\frac{v_0^2}{R}\,\vec{\jmath}_0$

donde se ha tenido en cuenta que:

$\vec{a}^{\, C}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left.\frac{\mathrm{d}(v_0\,\vec{\imath}_{0})}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}$ ; $\vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left.\frac{\mathrm{d}\left(-\displaystyle\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}$

Y la aceleración de arrastre de $A\,$ la calculamos a partir de la aceleración de arrastre del punto $O\,$ utilizando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}:

$\vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\overrightarrow{OA}-|\,\vec{\omega}_{01}|^{\, 2}\,\overrightarrow{OA}=-\omega_0^2v_0\, t^{*}\,\vec{\imath}_0$

donde se ha tenido en cuenta que:

$\vec{a}^{\, O}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}$ ; $\vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}$

Así que, sustituyendo los valores obtenidos para $\vec{a}^{\, A}_{20}\,$ y $\vec{a}^{\, A}_{01}\,$ en la ley de composición de aceleraciones, se obtiene finalmente:

$\vec{a}^{\, A}_{21}=-\omega_0^2v_0\, t^{*}\,\vec{\imath}_0+\frac{v_0^2}{R}\,\vec{\jmath}_0$

5 ¿En qué caso particular {21} es una traslación?

Examinando la reducción cinemática de {21} en el punto $O\,$ (que fue calculada más arriba):

$\vec{\omega}_{21}=\left(\omega_0-\frac{v_0}{R}\right)\vec{k}_0\,$ ; $\vec{v}^{\, O}_{21}=\frac{v_0^2t^{*}}{R}\,\vec{\jmath}_0$

deducimos lo que tiene que ocurrir para que la velocidad angular del movimiento {21} se anule:

$\vec{\omega}_{21}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_0-\frac{v_0}{R}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_0 R=v_0$

Así, pues, en el caso particular de que $\omega_0 R=v_0\,$ , el movimiento {21} es una traslación, ya que el campo de velocidades es uniforme y distinto de cero.

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2 C.I.R.{21}: localización aproximada mediante el teorema de los tres centros

3 C.I.R.{21}: localización exacta mediante determinación analítica

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5 ¿En qué caso particular {21} es una traslación?

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