No Boletín - Descripción vectorial de un movimiento circular (Ex.Nov/16)

De Laplace

1 Enunciado

Desde un triedro cartesiano $OXYZ\,$ , se observa el movimiento circular de una partícula $P\,$ cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas $O\,$ . En cierto instante, los vectores de posición, velocidad angular y aceleración angular de $P\,$ valen:

$\vec{r}=\overrightarrow{OP}=(-\,\vec{\imath}\,+\,2\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{m}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}=(4\,\vec{\imath}\,-\,3\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\alpha}=(-\,8\,\vec{\imath}\,+\,6\,\vec{\jmath}\,\,)\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^2$

¿Cuánto vale la aceleración de la partícula en dicho instante?
¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria?

2 Solución

Utilizando las fórmulas estudiadas en la teoría (descripción vectorial de un movimiento circular cuyo eje de giro pasa por el origen de coordenadas), podemos determinar la velocidad $\vec{v}\,$ , la aceleración tangencial $\vec{a}_t\,$ y la aceleración normal $\vec{a}_n\,$ en el instante de interés:

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\left|\!\!\begin{array}{rrc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|=5\,\vec{k} \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v=|\,\vec{v}\,|=5 \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$

$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\left|\!\!\begin{array}{rrc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -8 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|=-10\,\vec{k} \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, a_t=\vec{a}_t\cdot\vec{v}/v=-10 \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$

$\vec{a}_n=\vec{\omega}\,\times\,\vec{v}=\left|\!\!\begin{array}{rrc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right|=(-\,15\,\vec{\imath}\,-\,20\,\vec{\jmath}\,) \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, a_n=|\,\vec{a}_n\,|=25 \,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$