No Boletín - Cuestión sobre radio de curvatura (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula, que se hallaba en reposo en el instante inicial ( $t=0\,$ ), se mueve de tal modo que su aceleración tangencial y su aceleración normal son ambas constantes no nulas:

$a_t(t)=C_1\neq 0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,a_n(t)=C_2\neq 0$

¿Cómo evoluciona el radio de curvatura de la trayectoria de esta partícula? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(a) Es constante.

(b) Aumenta linealmente con el tiempo.

(c) Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

(d) Aumenta cúbicamente con el tiempo.

2 Solución

La aceleración tangencial de una partícula viene dada por la derivada temporal de su celeridad. Así que, conocida la aceleración tangencial en todo instante $\,a_t(t)=C_1\,$ y conocida la celeridad en el instante inicial $\,v(0)=0\,$ (nula por hallarse la partícula en reposo), podemos determinar la celeridad para $\,t>0\,$ integrando la aceleración tangencial entre el instante inicial y un instante genérico:

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=a_t=C_1 \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \mathrm{d}v=C_1\,\mathrm{d}t \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \int_{v(0)}^{\, v(t)}\!\mathrm{d}v=C_1\!\int_{0}^{\, t}\!\mathrm{d}t \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v(t)=C_1\, t$

Por otra parte, la aceleración normal de una partícula viene dada por el cociente entre el cuadrado de su celeridad y el radio de curvatura de su trayectoria. Así que, conocidas en todo instante la celeridad $\,v(t)=C_1\, t\,$ y la aceleración normal $a_n(t)=C_2,\,$ podemos determinar el radio de curvatura de la trayectoria como función del tiempo: