No Boletín - Cuestión sobre movimiento de aceleración constante (Ex.Oct/14)

De Laplace

1 Enunciado

Si una partícula se mueve de tal modo que su aceleración es un vector constante en el tiempo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

1) La celeridad de la partícula varía linealmente con el tiempo.

2) La partícula realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

3) Es imposible que la partícula alcance un reposo instantáneo.

4) La trayectoria de la partícula es plana, aunque puede no ser recta.

2 Solución

La situación que plantea esta cuestión (partícula móvil con su vector aceleración constante) coincide con la de un problema sencillo muy conocido: la caída de una partícula (por ejemplo, una piedra) bajo la única acción de su propio peso (admitiendo aceleración gravitatoria constante y ausencia de rozamiento). Aprovecharemos esta circunstancia para resolver la cuestión prescindiendo de fórmulas y cálculos matemáticos.

Sabemos que la trayectoria de caída de una piedra es una recta o una parábola dependiendo de cómo sea su vector velocidad inicial. Así, si su vector velocidad inicial es nulo o de dirección vertical (paralelo a la aceleración gravitatoria), la trayectoria es una recta. Pero si, por el contrario, el vector velocidad inicial tiene componente horizontal, entonces la trayectoria es una parábola. Y no existen más trayectorias posibles que estas dos. Concluimos, pues, que la afirmación 4 es necesariamente cierta: la recta y la parábola son ambas trayectorias planas, aunque la parábola no es una trayectoria recta.

Veremos a continuación que las otras tres afirmaciones no son necesariamente ciertas.

Supongamos, por ejemplo, que la piedra cae describiendo una parábola. En tal caso es obviamente falsa la afirmación 2, y -aunque no tan obviamente- también la afirmación 1. Para entender la falsedad de la afirmación 1, observe que una celeridad linealmente variable con el tiempo exigiría una aceleración tangencial (derivada temporal de la celeridad) constante y, sin embargo, en la caída libre parabólica la aceleración tangencial varía con el tiempo (porque el vector aceleración es constante, pero el vector tangente unitario es variable).

Por último, para comprobar que la afirmación 3 también es falsa, basta suponer que el vector velocidad inicial de la piedra es vertical y hacia arriba. Sabemos por experiencia que en tal caso la piedra ascenderá en línea recta hasta alcanzar un reposo instantáneo y, a continuación, comenzará a descender.