No Boletín - Cuestión sobre curva de potencial II (Ex.Ene/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Energía mecánica
3 Puntos de retorno y región prohibida
4 ¿Cuál es la afirmación FALSA?

1 Enunciado

Una partícula de masa $1\,\mathrm{kg}\,$ se mueve a lo largo del eje $OX\,$ bajo la acción de una fuerza conservativa cuya energía potencial $U\,$ es la representada en la gráfica. Sabemos que en el instante $t=t_0\,$ la partícula se halla en la posición $x_0=-8\,\mathrm{m}\,$ y tiene una celeridad $v_0 = 2\,\mathrm{m/s}\,$ en el sentido positivo del eje $OX\,$ .

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el movimiento de la partícula para $t>t_0\,$ es falsa? (NOTA: sólo una de las cuatro afirmaciones es falsa).

(a) Alcanzará un equilibrio inestable en la posición $x= -4\,\mathrm{m}\,$

(b) Nunca pasará por la posición $x = 1\,\mathrm{m}\,$

(c) En algún momento entrará en la región $x<-8\,\mathrm{m}\,$

(d) Estará en reposo instantáneo en la posición $x = -7\,\mathrm{m}\,$

2 Energía mecánica

Es un movimiento rectilíneo conservativo. La energía mecánica $E\,$ (suma de la energía cinética y la energía potencial) es constante en el tiempo. La calculamos evaluándola en el instante inicial:

$E=\frac{1}{2}mv_0^2+U(x_0)=2\,\mathrm{J}+1\,\mathrm{J}=3\,\mathrm{J}$

donde $m\,$ es la masa de la partícula, $x_0\,$ es su posición inicial, y $v_{\, 0}\,$ es su celeridad inicial (valores dados en el enunciado).

Nota: la evaluación de $U(x_0)\,$ se realiza mediante la simple inspección de la gráfica facilitada.

3 Puntos de retorno y región prohibida

Los puntos de retorno corresponden a los valores de $x\,$ para los cuales se produce intersección entre la curva de energía potencial $U(x)\,$ y la recta horizontal representativa de la energía mecánica constante $E=3\,\mathrm{J}\,$ . Observamos en la gráfica que existen dos puntos de retorno:

$x_1=-7\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_2=0\,\mathrm{m}$

Se denominan "de retorno" porque, si la partícula llega a uno de estos puntos, sufrirá allí la anulación instantánea de su celeridad y la inversión del sentido de su movimiento. Esta inversión del sentido de movimiento se debe a que cada punto de retorno es la frontera entre una región permitida y una región prohibida.

En efecto, la energía cinética de una partícula es, por definición, mayor o igual que cero (no negativa) y, por tanto, la partícula tiene prohibido su acceso a aquella región del eje $OX\,$ para la cual la curva de energía potencial $U(x)\,$ está por encima de la recta horizontal de energía mecánica $E=3\,\mathrm{J}\,$ . En el caso que nos ocupa:

$x_1<x<x_2\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=K=E-U(x)<0\,\,\,\,\mathrm{(imposible)}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{region}\,\,\mathrm{prohibida}$

4 ¿Cuál es la afirmación FALSA?

Dado que la partícula se halla inicialmente en $x_0=-8\,\mathrm{m}$ y moviéndose hacia la derecha ( $\dot{x}>0\,$ ), es obvio que la partícula alcanzará el punto de retorno $x_1=-7\,\mathrm{m}\,$ . En dicho punto estará en reposo instantáneo y, a continuación, empezará a moverse hacia la izquierda ( $\dot{x}<0\,$ ) de forma permanente (porque, a la izquierda de $x_1\,$ , no hay puntos de retorno).

Por tanto, es CORRECTA la afirmación (d): "Estará en reposo instantáneo en la posición $x = -7\,\mathrm{m}\,$ ", ya que dicha posición va a ser efectivamente alcanzada por la partícula y es un punto de retorno:

$\mathrm{para}\,\,\,x=x_1=-7\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}m\dot{x}^{\, 2}=K=E-U(x_1)=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{x}=0\,\,\,\,\mathrm{(reposo}\,\,\mathrm{instantaneo)}$

Y también es CORRECTA la afirmación (c): "En algún momento entrará en la región $x<-8\,\mathrm{m}\,$ ", ya que, tras invertir su sentido de movimiento en $x=x_1\,$ , la partícula se moverá indefinidamente hacia la izquierda (sin retorno), cumpliéndose que:

$\lim_{t\rightarrow\infty}x(t)=-\infty$

En la gráfica observamos que existen dos regiones permitidas para el movimiento de la partícula: la región izquierda ( $x\le x_1\,$ ) y la región derecha ( $x\ge x_2\,$ ), pero estas dos regiones están inconexas entre sí debido a que entre ambas se interpone la región prohibida ( $x_1< x< x_2\,$ ). Podemos expresarlo diciendo que existe una barrera de potencial que impide el paso de una región a otra. Por tanto, el movimiento de la partícula transcurrirá de facto sólo en una de las dos regiones permitidas. Pero... ¿en cuál? Pues muy fácil: en aquella región en la que se halle la partícula en el instante inicial. En nuestro caso, al ser $x_0=-8\,\mathrm{m}<x_1=-7\,\mathrm{m}\,$ , la partícula se va a mover siempre en la región izquierda y nunca alcanzará la región derecha. Por tanto, es CORRECTA la afirmación (b): "Nunca pasará por la posición $x = 1\,\mathrm{m}\,$ ", ya que esta posición pertenece a la región derecha:

$1\,\mathrm{m}>x_2=0\,\mathrm{m}$

Por eliminación, llegamos finalmente a la conclusión de que la afirmación falsa que buscábamos es la (a): "Alcanzará un equilibrio inestable en la posición $x= -4\,\mathrm{m}\,$ ". En efecto, sin necesidad de entrar a discutir otras características de la posición $x= -4\,\mathrm{m}\,$ , la afirmación (a) es FALSA porque dicha posición queda dentro de la región prohibida:

$x_1=-7\,\mathrm{m}<-4\,\mathrm{m}<x_2=0\,\mathrm{m}$

y, por tanto, es inalcanzable para la partícula.

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2 Energía mecánica

3 Puntos de retorno y región prohibida

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