No Boletín - Componentes intrínsecas en un movimiento circular (Ex.Jun/13)

De Laplace

1 Enunciado

El ángulo $\psi\,$ que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:

$\mathrm{tg}(\psi)=\frac{a_n}{a_t}$

Sea una partícula $P\,$ que recorre la circunferencia de radio $R\,$ :

$\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)=R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}$

¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo $\psi\,$ formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: $\omega_0\,$ , $\alpha_0\,$ y $t_0\,$ son constantes positivas conocidas.)

1) $\theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,$

2) $\theta(t)=e^{(t/t_0)}$

3) $\theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)$

4) $\theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}$

2 Solución

Al estudiar en la teoría la descripción angular del movimiento circular de una partícula, utilizábamos precisamente la ecuación $\theta\,$ -paramétrica de la circunferencia a la que se refiere el enunciado de este problema. Y definíamos la velocidad angular $\omega\,$ y la aceleración angular $\alpha\,$ de la partícula como las derivadas temporales de primer y segundo orden, respectivamente, de la ley horaria $\theta(t)\,$ . También se dedujeron sendas expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula:

$a_t=R\,\alpha=R\,\ddot{\theta}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_n=R\,\omega^2=R\,\dot{\theta}^2\,$

Entonces, conforme a la afirmación inicial del enunciado, el ángulo $\psi\,$ que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula que realiza el movimiento circular propuesto se determina mediante el siguiente cociente:

$\mathrm{tg}(\psi)=\frac{a_n}{a_t}=\frac{R\,\dot{\theta}^2}{R\,\ddot{\theta}}=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}$

Por tanto, averiguaremos para cuál de las cuatro leyes horarias propuestas en el enunciado se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo $\psi\,$ formado por la velocidad y la aceleración de la partícula investigando en cuál de ellas desaparece el tiempo al realizar el citado cociente:

1) $\theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\omega_0\,\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\omega_0^2\,\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\mathrm{cotg}(\omega_0 t)$

2) $\theta(t)=e^{(t/t_0)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0}\,\,;\qquad\,\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0^2}\,\,\,\,\,\qquad\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=e^{(t/t_0)}$

3) $\theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2}\,\,\,\,\,\qquad\qquad\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-1$

4) $\theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\alpha_0 t\,\,;\qquad\qquad\,\ddot{\theta}=\alpha_0\,\,\,\,\,\qquad\qquad\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=\alpha_0 t^2$

Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3.

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