No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación
3 Cálculo de las tres velocidades del punto A
4 Cálculo de las tres aceleraciones del punto A
5 Cálculo de la velocidad y la aceleración del punto O en el movimiento {21}
6 Determinación analítica del C.I.R.{21}

1 Enunciado

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $OX_1Y_1\,$ (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O\,$ , y además se halla articulada en su extremo $A\,$ a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio $R\,$ y centro en el punto $C\,$ (de posición $\overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,$ ).

Se define también la escuadra auxiliar $OX_0Y_0\,$ (sólido "0") de la figura, cuyo eje $OX_0\,$ es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada $\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\,$ deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando $\theta\,$ al ángulo que forma la varilla con el eje $OX_1\,$ (ver figura), y sabiendo que $\dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,$ , se pide:

Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{20}\,$ , $I_{01}\,$ e $I_{21}.\,$
Cálculo de las velocidades $\vec{v}^{\,A}_{20}(\theta)\,$ , $\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\,$ y $\vec{v}^{\,A}_{21}(\theta).\,$
Cálculo de las aceleraciones $\vec{a}^{\,A}_{20}(\theta)\,$ , $\vec{a}^{\,A}_{01}(\theta)\,$ y $\vec{a}^{\,A}_{21}(\theta).\,$
Cálculo de la velocidad $\vec{v}^{\,O}_{21}(\theta)\,$ y la aceleración $\vec{a}^{\,O}_{21}(\theta).\,$
Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$ , es decir, $\overrightarrow{ OI_{21}}(\theta).\,$

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La escuadra auxiliar $OX_0Y_0\,$ (sólido "0") y la escuadra fija $OX_1Y_1\,$ (sólido "1") comparten el punto $O\,$ como origen. Por tanto, $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento $\{01\}\,$ :

$I_{01}\equiv O$

El eje $OX_0\,$ (sólido "0") se define colineal en todo instante con la varilla (sólido "2"), lo cual implica que el movimiento $\{20\}\,$ es una traslación permanente en dirección paralela a dicho eje $OX_0\,$ . Y como el centro instantáneo de rotación de una traslación plana se halla en el infinito en la dirección perpendicular a la dirección de la traslación, se concluye que:

$I_{20}\rightarrow\infty\parallel OY_0\perp OX_0$

En lo que se refiere al movimiento $\{21\}\,$ , conocemos a priori las direcciones de las velocidades de dos puntos de la varilla: $\vec{v}^{A}_{21}\,$ es tangente al aro fijo (porque el extremo $A\,$ de la varilla está obligado a recorrer dicho aro), y $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ es tangente a la varilla (porque la misma está obligada a deslizar por el interior del pasador orientable ubicado en el punto $O\,$ ). Trazando sendas perpendiculares a dichas velocidades en sus respectivos puntos, hallaremos el punto $I_{21}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.\begin{array}{l} \vec{v}_{21}^{\, A}\perp\overrightarrow{I_{21}A} \\ \\ \vec{v}_{21}^{\, O}\perp\overrightarrow{I_{21}O} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I_{21}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, O} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \,\, O \end{array}\right\}$

Nótese que la recta perpendicular a $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ que pasa por el punto $O\,$ también podría haberse trazado apelando al cumplimiento del teorema de los tres centros, según el cual el punto $I_{21}\,$ tiene que estar alineado con los puntos $I_{20}\,$ e $I_{01}.\,$

3 Cálculo de las tres velocidades del punto A

Al ser $\theta\,$ el ángulo formado por la varilla (sólido "2") y el eje $OX_1\,$ (sólido "1"), la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}\,$ es igual a $\dot{\theta}\,\vec{k}_0\,$ (con signo positivo porque a $\dot{\theta}>0\,$ correspondería una rotación antihoraria). Pero $\theta\,$ es también el ángulo formado por el eje $OX_0\,$ (sólido "0") y el eje $OX_1\,$ (sólido "1"), de tal modo que la velocidad angular $\vec{\omega}_{01}\,$ tiene el mismo valor que la $\vec{\omega}_{21}\,$ , lo cual es coherente (conforme a la ley de composición de velocidades angulares) con el hecho de que la velocidad angular $\vec{\omega}_{20}\,$ es nula (porque el movimiento $\{20\}\,$ es una traslación). Así que, teniendo en cuenta que $\dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,$ , se concluye:

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{20}=\vec{0}$

La velocidad $\vec{v}^{\, A}_{20}\,$ se puede obtener a partir de su definición:

$\vec{v}^{A}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{r}^{\, A}_{20}}{d t}\right|_0=\left.\frac{d\left[\,2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,\right]}{d t}\right|_0=-2R\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0$

donde la expresión del vector $\vec{r}^{\, A}_{20}=\overrightarrow{OA}=2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,$ se ha deducido por simple inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $I_{21}OA\,$ (cuyo ángulo interno en el vértice $A\,$ sabemos que vale $\theta\,$ por ser isósceles el triángulo $OCA\,$ ).

Por otra parte, conocidos el valor de $\vec{\omega}_{01}\,$ y la posición del C.I.R. $\{01\}\,$ ( $I_{01}\equiv O\,$ ), la velocidad $\vec{v}^{\, A}_{01}\,$ se obtiene mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{01\}\,$ :

$\vec{v}^{A}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0= 2\,\Omega R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0$

Finalmente, la ley de composición de velocidades permite deducir el valor de la velocidad $\vec{v}^{\, A}_{21}\,$ :

$\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\Omega R\left[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]$

4 Cálculo de las tres aceleraciones del punto A

La aceleración $\vec{a}^{\, A}_{20}\,$ se puede obtener a partir de su definición:

$\vec{a}^{\, A}_{20}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}^{\, A}_{20}}{d t}\right|_0=\left.\frac{d\left[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,\right]}{d t}\right|_0=-2\,\Omega R\,\dot{\theta}\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega^2 R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0$

Deducimos la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{01}$ relacionándola con la $\vec{a}^{\, O}_{01}$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento ${01}$ :

$\vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OA}-|\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OA}=-\Omega^2\,[\,2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=-2\,\Omega^2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0$

donde se ha tenido en cuenta que $\vec{a}^{\, O}_{01}\,$ es nula por ser $O\,$ un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$ , y $\vec{\alpha}_{01}\,$ es nula por ser $\vec{\omega}_{01}\,$ constante en el tiempo.

Por último, calculamos el término de Coriolis:

$2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]=-\,4\,\Omega^2 R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0$

y determinamos la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{21}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones:

$\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=-\,4\,\Omega^2 R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]$

5 Cálculo de la velocidad y la aceleración del punto O en el movimiento {21}

Obtenemos la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ relacionándola con la $\vec{v}^{\, A}_{21}\,$ mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento $\{21\}\,$ :

$\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{21}\,+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO}=2\,\Omega R\left[-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]+\,\Omega\,\vec{k}_0\,\times[-2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]= -2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0$

donde se ha utilizado que $\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}=-2R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0.\,$

Obtenemos la aceleración $\vec{a}^{\, O}_{21}\,$ relacionándola con la $\vec{a}^{\, A}_{21}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento $\{21\}\,$ :

$\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{21}\,+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AO}\,-\,|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AO}=-4\,\Omega^2 R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]\,+\,2\,\Omega^2R \,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0=-2\,\Omega^2R\left[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}_0+2\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_0\,\right]$

donde se ha tenido en cuenta que $\vec{\alpha}_{21}\,$ es nula por ser $\vec{\omega}_{21}\,$ constante en el tiempo.

6 Determinación analítica del C.I.R.{21}

La posición del centro instantáneo de rotación $I_{21}\,$ respecto al punto $O\,$ se determina mediante la fórmula:

$\overrightarrow{OI_{21}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{2}}=\frac{\Omega\,\vec{k}_0\times[-2\,\Omega R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}_0\,]}{\Omega^2}=-2R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}_{0}$

No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

3 Cálculo de las tres velocidades del punto A

4 Cálculo de las tres aceleraciones del punto A

5 Cálculo de la velocidad y la aceleración del punto O en el movimiento {21}

6 Determinación analítica del C.I.R.{21}

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