No Boletín - Altura de un triángulo (Ex.Oct/19)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un triángulo $\,ABC\,$ arbitrario. Denominamos $\,h_{AB}\,$ a la longitud de su altura respecto del lado $\,AB\,$ . ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) $h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}\,$

(2) $h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB})\,\overrightarrow{AC}\,|}{|\overrightarrow{AC}\,|^2}\,$

(3) $h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB})\times\overrightarrow{AC}\,|}{|\overrightarrow{AC}\,|^2}\,$

(4) $h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})\,\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}\,$

2 Solución

Utilizando una fórmula deducida en la teoría, descomponemos el vector $\overrightarrow{AC}\,$ en la suma de un vector paralelo a $\overrightarrow{AB}\,$ (vector $\overrightarrow{AD}\,$ ) y un vector perpendicular a $\overrightarrow{AB}\,$ (vector $\overrightarrow{DC}\,$ ):

$\overrightarrow{AC}=\underbrace{\displaystyle\frac{(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\,)\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}}_{\overrightarrow{AD}}\,+\,\underbrace{\displaystyle\frac{(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\,)\times\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}}_{\overrightarrow{DC}}$

Resulta obvio que la longitud de la altura buscada coincide precisamente con el módulo del vector perpendicular a $\overrightarrow{AB}\,$ de la citada descomposición, es decir:

$h_{AB}=|\overrightarrow{DC}\,|=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}$

Así que la solución correcta es la (1).

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