De Laplace

1 Enunciado

Un niño tiene dos piedras. Lanza la primera verticalmente hacia arriba, con una velocidad $v 0$ . Un tiempo $T$ después lanza la segunda, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad $2 v 0$ . Determina cuanto debe valer $T$ para que la segunda piedra alcance a la primera justo cuando su velocidad es nula. Desprecia el rozamiento del aire.

2 Solución

Si despreciamos la resistencia del aire las piedras realizan un movimiento uniformemente acelerado. Si escogemos el eje $O X$ de modo que sea vertical y apunte hacia arriba la aceleración de las piedras es

$a = - g .$

Escogemos el origen del eje a la altura del suelo. El niño lanza la primera piedra en el instante inicial con velocidad $v 0$ apuntando hacia arriba. La posición y velocidad de la primera piedra en función del tiempo viene dada por

$\begin{array}{lcl} x_1(t) = v_0t - \dfrac{1}{2}gt^2 &\qquad& t\geq0,\\ &&\\ v_1(t) = v_0 - gt. && \end{array}$

El niño lanza la segunda piedra un tiempo $T$ después, con una velocidad inicial $2 v 0$ apuntando hacia arriba. Entonces, su posición viene dada por la expresión

$\begin{array}{lcl} x_2(t) = 2v_0(t-T) - \dfrac{1}{2}g(t-T)^2 &\qquad& t\geq T,\\ &&\\ v_2(t) = 2v_0 - g(t-T). && \end{array}$

Calculamos el instante de tiempo para el que la primera piedra tiene velocidad nula

$v_1(t_0) = 0 \Longrightarrow t_0 = v_0/g.$

En este instante la piedra está en el punto más alto de su trayectoria. Queremos que en ese mismo instante las posiciones de las dos piedras coincidan

$x_1(t_0) = x_2(t_0) \Longrightarrow v_0t_0 - \dfrac{1}{2}gt_0^2 = 2v_0(t_0-T) - \dfrac{1}{2}g(t_0-T)^2$

Esto es una ecuación cuadrática para $T$ . Para hacer el cálculo mas simple hacemos el cambio $t 0 - T = F$ y sustituimos el valor de $t 0$ en el lado izquierdo tenemos

$\dfrac{v_0^2}{2g} = 2v_0\,F - \dfrac{1}{2}g\,F^2 \Longrightarrow g\,F^2 - 4v_0\,F + \dfrac{v_0^2}{g}=0 \Longrightarrow F = \dfrac{4v_0 \pm \sqrt{16v_0^2-4v_0^2}}{2g} = \dfrac{v_0}{g}\,(2\pm \sqrt{3}).$