Máquina de Atwood simple

De Laplace

1 Enunciado

Una máquina de Atwood es un dispositivo simple compuesto por una polea por la que pasa una cuerda, de cuyos extremos penden dos masas $m 1$ y $m 2$ . En el caso ideal se supone que la cuerda es inextensible y sin masa, y que la polea tampoco tiene masa ni fricción.

Para este caso ideal, calcule la aceleración de cada masa, la tensión de la cuerda y la fuerza que ejerce el gancho que sujeta la polea.

2 Solución

Una de las aplicaciones de las tensiones de hilos es el de la máquina de Atwood, formada por dos masas $m 1$ y $m 2$ unidas por un hilo ideal que pasa por una polea también ideal. Cuando se liberan estas masas, la más pesada tira de las más ligera y comienzan a moverse aceleradamente. La cuestión es calcular con qué aceleración lo hacen.

Para la masa $m 1$ , las fuerzas que actúan sobre ella son su peso y la tensión del hilo, de forma que

$m_1\vec{a}_1 = m_1\vec{g}+\vec{F}_{T1}$

Puesto que todas las fuerzas son verticales, podemos usar cantidades escalares. Podemos elegir arbitrariamente los ejes que más nos interesen. Por ello, tomamos un eje X dirigido verticalmente hacia abajo. ¿Por qué hacia abajo? Porque nos interesa medir desde el techo desde el cual cuelga la polea.

En este sistema de ejes:

$\vec{a}_1 = a_1 \vec{\imath}\qquad \vec{F}_{T1}=-F_{T1}\vec{\imath}\qquad\vec{g}=+g\vec{\imath}$

La gravedad es positiva porque va en el sentido del eje; la tensión, en cambio, va hacia arriba, que es el sentido del eje X negativo. La aceleración puede ser tanto positiva como negativa. Por ello, no hay que suponer que por poner $a 1$ ya se está suponiendo que la masa se mueve hacia abajo. Es una consecuencia de que

$\vec{r}_1 = x_1\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{a}_1=\ddot{x}_1\vec{\imath}=a_1\vec{\imath}$

pero esta segunda derivada puede tener cualquier signo, como en cualquier movimiento rectilíneo.

Igualando componente a componente (la única que hay)

$m_1 a_1 = m_1g - F_{T1}\,$

Haciendo lo mismo para la segunda masa

$m_2a_2 = m_2g-F_{T2}\,$

Por ser la cuerda inextensible, la aceleración con la que se estira por un lado debe ser exactamente igual que con la que se recoge por otro.

$x_1 + x_2 +\pi R = L=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad v_1+v_2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad a_2=-a_1$

Nótese que las aceleraciones no son iguales, sino opuestas.

Por otro lado, como el módulo de la tensión del hilo es el mismo a lo largo de todos sus puntos, por ser esta sin masa y tampoco tenerla la polea. Si la polea tuviera masa ya las tensiones no serían iguales (como se ve en otro problema)

$|\vec{F}_{T2}| = |\vec{F}_{T1}|$

Como además tienen la misma dirección y sentido, las dos fuerzas de tensión son iguales (no solo sus módulos).

Sustituyendo en la ecuación para $m 2$ nos queda

$-m_2a_1 = m_2g - F_{T1}\,$

Restando las dos ecuaciones eliminamos la tensión de las ecuaciones

$(m_1+m_2)a_1 = (m_1-m_2)g\qquad\Rightarrow\qquad a_1 = \frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}g$

y para la masa 2

$a_2= -a_1 = \frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g$

Vemos que los signos son los que cabe esperar. Si la masa 1 es la más pesada, es ella que va hacia abajo.

Si las dos masas son iguales la aceleración es nula. Esto no quiere decir que las masas estén necesariamente en reposo. Solo que tienen aceleración nula, pero pueden moverse a velocidad constante.

Para la tensión del hilo:

$F_{T1}=F_{T2}= m_1(g-a_1) = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$

La fuerza sobre la polea la da el que la polea está sometida a tres fuerzas: la tensión del hilo de la derecha, la del de la izquierda (ambas hacia abajo) y la fuerza que ejerce el punto de anclaje (la cual irá hacia arriba). Puesto que la polea no tiene masa, esta suma de fuerzas debe anularse

$(-\vec{F}_{T1})+(-\vec{F}_{T2}) +\vec{F}_a= \vec{0}$

lo que da

$\vec{F}_a = \vec{F}_{T1}+\vec{F}_{T2}=-\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{\imath}$

Vemos que no es simplemente igual al peso de las dos masas, sino que influye el que éstas estén aceleradas.

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