Muelle forzado

De Laplace

1 Enunciado

Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica $k=200\,\mathrm{N/m}$ . Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es $b=\sqrt{2k m}$ ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?

2 Solución

Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia $ω e$ , después de un período transitorio, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa

$x (t) = A cos(ω e t + Φ)$

La amplitud de la oscilación es

$A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 + (2\gamma\omega_e)^2}}\qquad\qquad (1)$

Aquí, $F 0$ es la amplitud de la fuerza externa, $\omega_0=\sqrt{k/m}$ es la frecuencia propia del muelle y $γ = b / 2 m$ es el parámetro de rozamiento. Vamos a introducir un cambio de variable y escribir la frecuencia de excitación que buscamos, $ω e$ , de la forma

$\omega_e = \lambda \omega_0. \qquad\qquad (2)$

Vamos a buscar una ecuación para el número $λ$ .

La frecuencia propia del oscilador es

$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)$

El parámetro de rozamiento es

$\gamma = \dfrac{b}{2m} = \dfrac{\sqrt{2km}}{2m} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}. \qquad\qquad (4)$

Introduciendo el cambio de variable (2) en la expresión (1) tenemos

$A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 4\gamma^2\lambda^2\omega_0^2}}$

Ahora usamos la expresión (4)

$A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 2\lambda^2\omega_0^4}} = \dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+2\lambda^2}} = \dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^4}}. \qquad\qquad (5)$

Ahora podemos despejar $λ$

$1+\lambda^4 = \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2 \Longrightarrow \lambda = \left[ \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2 -1\right]^{1/4}. \qquad\qquad (6)$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

λ = 1.34.

Y la frecuencia pedida es

$\omega_e = \lambda \omega_0 = 15.4\,\mathrm{rad/s}.$

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